Types de problèmes de loi normale – comment les identifier ?
🎯 L'erreur la plus fréquente
La plupart des erreurs en loi normale ne viennent pas d'un mauvais calcul – mais du fait de commencer à calculer avant de comprendre ce qui est vraiment demandé.
La solution : avant tout calcul, s'arrêter et se demander : "de quel type de problème s'agit-il ?"
La plupart des erreurs en loi normale ne viennent pas d'un mauvais calcul – mais du fait de commencer à calculer avant de comprendre ce qui est vraiment demandé.
La solution : avant tout calcul, s'arrêter et se demander : "de quel type de problème s'agit-il ?"
Les quatre types de problèmes
Tout problème de loi normale appartient à l'un de quatre types. Lorsque le type est identifié – la moitié du travail est déjà faite.
Type 1 – calcul de probabilité à partir d'une valeur
📋 Caractéristiques :
Le poids des bébés suit une loi normale : \(\mu = 3.3\) kg, \(\sigma = 0.4\) kg.
Quelle est la probabilité qu'un bébé pèse moins de 3.7 kg ?
- Donnée : une valeur \(X\) (ou une cote Z \(Z\))
- Demandé : une probabilité (aire sous la courbe)
- Mots-clés : "quelle est la probabilité que...", "quel pourcentage de...", "quelle proportion..."
- Convertir \(X\) en \(Z\) (si non donné) : \(Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}\)
- Chercher \(\Phi(z)\) dans la table
- Ajuster selon ce qui est demandé (gauche / droite)
Le poids des bébés suit une loi normale : \(\mu = 3.3\) kg, \(\sigma = 0.4\) kg.
Quelle est la probabilité qu'un bébé pèse moins de 3.7 kg ?
Étape 1 : \(Z = \dfrac{3.7 - 3.3}{0.4} = \dfrac{0.4}{0.4} = 1\)
Étape 2 : dans la table : \(\Phi(1) = 0.8413\)
Étape 3 : on demande "moins de" = aire de gauche = \(\Phi(1)\) directement
✅ Réponse : \(P(X < 3.7) = 0.8413\), soit environ 84% des bébés pèsent moins de 3.7 kg.
Étape 2 : dans la table : \(\Phi(1) = 0.8413\)
Étape 3 : on demande "moins de" = aire de gauche = \(\Phi(1)\) directement
✅ Réponse : \(P(X < 3.7) = 0.8413\), soit environ 84% des bébés pèsent moins de 3.7 kg.
Type 2 – probabilité sur un intervalle
📋 Caractéristiques :
\(\mu = 3.3\), \(\sigma = 0.4\). Quelle est la probabilité qu'un bébé pèse entre 2.9 et 3.7 kg ?
- Donnée : deux valeurs (\(a\) et \(b\))
- Demandé : la probabilité que la valeur soit entre les deux bornes
- Mots-clés : "entre ... et ...", "de ... à ..."
La formule :
\(P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)\)
🔢 Étapes de résolution :
\(P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)\)
- Convertir les deux valeurs en \(Z\)
- Chercher \(\Phi\) pour chacun dans la table
- Soustraire : le plus grand moins le plus petit
\(\mu = 3.3\), \(\sigma = 0.4\). Quelle est la probabilité qu'un bébé pèse entre 2.9 et 3.7 kg ?
Étape 1 – conversion :
\(z_1 = \dfrac{2.9 - 3.3}{0.4} = -1\) \(z_2 = \dfrac{3.7 - 3.3}{0.4} = 1\)
Étape 2 – table :
\(\Phi(1) = 0.8413\) \(\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.8413 = 0.1587\)
Étape 3 – soustraction :
\(P(-1 \le Z \le 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826\)
✅ Réponse : environ 68% des bébés pèsent entre 2.9 et 3.7 kg – cela correspond exactement à la règle des 68% !
\(z_1 = \dfrac{2.9 - 3.3}{0.4} = -1\) \(z_2 = \dfrac{3.7 - 3.3}{0.4} = 1\)
Étape 2 – table :
\(\Phi(1) = 0.8413\) \(\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.8413 = 0.1587\)
Étape 3 – soustraction :
\(P(-1 \le Z \le 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826\)
✅ Réponse : environ 68% des bébés pèsent entre 2.9 et 3.7 kg – cela correspond exactement à la règle des 68% !
Type 3 – problème inverse (de la probabilité à X)
📋 Caractéristiques :
\(\mu = 3.3\), \(\sigma = 0.4\). En dessous de quel poids se trouve 90% des bébés ?
- Donnée : une probabilité (pourcentage, aire)
- Demandé : la valeur \(X\) correspondant à cette probabilité
- Mots-clés : "trouve la valeur telle que...", "quelle est la note en dessous de laquelle se trouve 90% ?", "trouve le centile ..."
La formule inverse :
\(X = \mu + Z \cdot \sigma\)
🔢 Étapes de résolution (à l'envers du type 1 !) :
\(X = \mu + Z \cdot \sigma\)
- Chercher dans la table le \(Z\) qui correspond à la probabilité donnée
- Remplacer dans la formule inverse : \(X = \mu + Z \cdot \sigma\)
\(\mu = 3.3\), \(\sigma = 0.4\). En dessous de quel poids se trouve 90% des bébés ?
Étape 1 : on cherche dans la table : \(\Phi(z) = 0.90\) → \(z \approx 1.28\)
Étape 2 : \(X = 3.3 + 1.28 \times 0.4 = 3.3 + 0.512 = 3.812\)
✅ Réponse : 90% des bébés pèsent moins de \(3.81\) kg (environ).
Étape 2 : \(X = 3.3 + 1.28 \times 0.4 = 3.3 + 0.512 = 3.812\)
✅ Réponse : 90% des bébés pèsent moins de \(3.81\) kg (environ).
⚠️ Erreur fréquente dans le type 3 : les étudiants remplacent parfois la probabilité (0.90) directement dans la formule de \(Z\). C'est faux ! Il faut d'abord trouver la valeur de \(Z\) dans la table, puis seulement remplacer.
Type 4 – comparaison entre groupes
📋 Caractéristiques :
Sara a obtenu 85 en biologie (\(\mu = 75\), \(\sigma = 10\)) et 90 en chimie (\(\mu = 88\), \(\sigma = 4\)).
Dans quelle matière a-t-elle mieux réussi par rapport à la classe ?
- Donnée : notes/valeurs de groupes différents avec des moyennes et des écarts-types différents
- Demandé : qui a le mieux réussi ? qui se distingue le plus ? où le résultat est-il le meilleur ?
- Mots-clés : "compare", "dans quelle matière est-il meilleur ?", "qui a mieux réussi par rapport à..."
🔑 La règle :
On ne compare jamais les notes brutes – on convertit toujours en \(Z\) et on compare les cotes Z !
🔢 Étapes de résolution :
On ne compare jamais les notes brutes – on convertit toujours en \(Z\) et on compare les cotes Z !
- Calculer \(Z\) séparément pour chaque groupe
- Comparer les cotes Z – celui dont le \(Z\) est plus grand a mieux réussi par rapport à son groupe
Sara a obtenu 85 en biologie (\(\mu = 75\), \(\sigma = 10\)) et 90 en chimie (\(\mu = 88\), \(\sigma = 4\)).
Dans quelle matière a-t-elle mieux réussi par rapport à la classe ?
Biologie : \(z = \dfrac{85 - 75}{10} = 1\)
Chimie : \(z = \dfrac{90 - 88}{4} = 0.5\)
✅ Conclusion : bien qu'en chimie la note brute soit plus élevée (90 > 85), Sara se distingue davantage en biologie (\(z = 1\) contre \(z = 0.5\)).
Chimie : \(z = \dfrac{90 - 88}{4} = 0.5\)
✅ Conclusion : bien qu'en chimie la note brute soit plus élevée (90 > 85), Sara se distingue davantage en biologie (\(z = 1\) contre \(z = 0.5\)).
🗺️ Comment identifier le type ? – diagramme de flux
| Demande-toi | Si oui → |
|---|---|
| Une valeur/note est donnée, on demande une probabilité ? | Type 1 |
| On demande une probabilité sur un intervalle (entre ... et ...) ? | Type 2 |
| Une probabilité est donnée, on demande une valeur ? | Type 3 |
| On demande de comparer entre groupes ? | Type 4 |
Formules importantes pour travailler avec la table Z
| Ce qui est demandé | Formule | Explication |
|---|---|---|
| Aire de gauche | \(P(Z \le z) = \Phi(z)\) | Se lit directement dans la table |
| Aire de droite | \(P(Z > z) = 1 - \Phi(z)\) | Complément à 1 |
| Intervalle | \(P(a \le Z \le b) = \Phi(b) - \Phi(a)\) | Soustraction de deux aires |
| Symétrie | \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\) | La courbe est symétrique par rapport à 0 |
| Valeur unique | \(P(Z = z) = 0\) | Dans une loi continue – toujours 0 ! |
💡 Conseil : l'étape d'identification évite la moitié des erreurs. Avant tout calcul, demande-toi : "qu'est-ce que j'ai et qu'est-ce qu'on me demande ?" – voilà le type de problème.