الإحصاء – أنواع مسائل التوزيع الطبيعي

أنواع مسائل التوزيع الطبيعي – كيف نتعرّف عليها؟

🎯 الخطأ الأكثر شيوعاً

التوزيع الطبيعي لم الحساب – لم جميع مطلوب.

الحل: قبل أي حساب، التوقف والسؤال: " ?"

الأنواع الأربعة للمسائل

كل مسألة تنتمي لأحد أربعة أنواع. حين يُعرَّف النوع – نصف العمل أُنجز.

النوع 1 – حساب الاحتمال من القيمة

📋 الخصائص:
  • معطى: قيمة \(X\) ( الدرجة المعارية \(Z\))
  • مطلوب: احتمال (مساحة تحت المنحنى)
  • كلمات دالّة: " ...", " ...", " ..."
🔢 خطوات الحل:
  1. \(X\) -\(Z\) ( لم ): \(Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}\)
  2. \(\Phi(z)\)
  3. نتكيّف وفق المطلوب (يساراً / يميناً)
📝 مثال:

: \(\mu = 3.3\) ", \(\sigma = 0.4\) ".
ما احتمال أن يزن رضيع بـ3.7 "?
الخطوة 1: \(Z = \dfrac{3.7 - 3.3}{0.4} = \dfrac{0.4}{0.4} = 1\)

الخطوة 2: في الجدول: \(\Phi(1) = 0.8413\)

الخطوة 3: مطلوب " بـ" = مساحة يسارية = \(\Phi(1)\)

✅ الجواب: \(P(X < 3.7) = 0.8413\), جميع -84% بـ3.7 ".

النوع 2 – الاحتمال في نطاق

📋 الخصائص:
  • معطى: (\(a\) -\(b\))
  • مطلوب: احتمال أن تكون القيمة بين الحدَّين
  • كلمات دالّة: "بين ... -...", "بـ... ..."
الصيغة:
\(P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)\)
🔢 خطوات الحل:
  1. -\(Z\)
  2. \(\Phi\) جميع
  3. :
📝 مثال:

\(\mu = 3.3\), \(\sigma = 0.4\). ما احتمال أن يزن رضيع بين 2.9 -3.7 "?
الخطوة 1 – التحويل:
\(z_1 = \dfrac{2.9 - 3.3}{0.4} = -1\)     \(z_2 = \dfrac{3.7 - 3.3}{0.4} = 1\)

الخطوة 2 – الجدول:
\(\Phi(1) = 0.8413\)     \(\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.8413 = 0.1587\)

الخطوة 3 – الطرح:
\(P(-1 \le Z \le 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826\)

✅ الجواب: -68% بين 2.9 -3.7 " – جميع 68%!

النوع 3 – المسألة العكسية (من الاحتمال إلى X)

📋 الخصائص:
  • معطى: احتمال (نسبة، مساحة)
  • مطلوب: قيمة \(X\)
  • كلمات دالّة: " قيمة ...", " -90% ?", " -..."
الصيغة العكسية:
\(X = \mu + Z \cdot \sigma\)
🔢 خطوات الحل (عكس النوع 1!):
  1. \(Z\)
  2. : \(X = \mu + Z \cdot \sigma\)
📝 مثال:

\(\mu = 3.3\), \(\sigma = 0.4\). 90% من الرضّع يزنون أقل من كم؟
الخطوة 1: في الجدول: \(\Phi(z) = 0.90\) → \(z \approx 1.28\)

الخطوة 2: \(X = 3.3 + 1.28 \times 0.4 = 3.3 + 0.512 = 3.812\)

✅ الجواب: 90% بـ\(3.81\) " ().
⚠️ خطأ شائع في النوع 3: (0.90) \(Z\). ! قيمة \(Z\) , فقط .

النوع 4 – المقارنة بين مجموعات

📋 الخصائص:
  • معطى: درجات/قيم من مجموعات مختلفة بمتوسطات وانحرافات مختلفة
  • مطلوب: من أنجز أكثر؟ من يتميّز أكثر؟ أين الإنجاز أعلى؟
  • كلمات دالّة: "", " ?", " ..."
🔑 القاعدة:
لم نقارن – -\(Z\) نقارن !
🔢 خطوات الحل:
  1. نحسب \(Z\) على حدة لكل مجموعة
  2. نقارن – \(Z\)
📝 مثال:

85 الأحياء (\(\mu = 75\), \(\sigma = 10\)) -90 الكيمياء (\(\mu = 88\), \(\sigma = 4\)).
في أيّ مادة أنجزت أكثر بالنسبة للفصل?
الأحياء: \(z = \dfrac{85 - 75}{10} = 1\)

الكيمياء: \(z = \dfrac{90 - 88}{4} = 0.5\)

✅ الاستنتاج: الكيمياء (90 > 85), سارة تتميّز أكثر في الأحياء (\(z = 1\) \(z = 0.5\))!

🗺️ كيف نتعرّف على النوع؟ – مخطط تدفّق

السؤال لنفسي إذا نعم ←
معطى قيمة/درجة، مطلوب احتمال؟ النوع 1
مطلوب احتمال في نطاق (بين ... و...)? النوع 2
معطى احتمال، مطلوب قيمة? النوع 3
مطلوب مقارنة بين مجموعات؟ النوع 4

صيغ مهمة للعمل مع جدول Z

المطلوب الشرح
مساحة يسارية \(P(Z \le z) = \Phi(z)\)
مساحة يمينية \(P(Z > z) = 1 - \Phi(z)\) مكمّل لـ1
نطاق \(P(a \le Z \le b) = \Phi(b) - \Phi(a)\)
التماثل \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\) المنحنى متماثل حول 0
قيمة منفردة \(P(Z = z) = 0\) – دائماً 0!
💡 نصيحة: مرحلة التعرّف توفّر نصف الأخطاء. قبل أي حساب اسألوا: " المطلوب ?" – .