le vecteur position d'un point A est le vecteur qui va de l'origine O au point A :

\(\overrightarrow{OA}\)

💡 Relation entre un point et son vecteur position :

si \(A = (a_1, a_2)\) alors le vecteur position est \(\overrightarrow{OA} = (a_1, a_2)\)

un vecteur du plan est représenté par deux coordonnées :

\(\vec{v} = (v_1, v_2)\)

\(v_1\) = coordonnée selon x     \(v_2\) = coordonnée selon y

⭐ Vecteur entre deux points :

si \(A = (a_1, a_2)\) et \(B = (b_1, b_2)\) alors :

\(\overrightarrow{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2)\)

extrémité moins origine !

Exemple :

si \(A = (1, 3)\) et \(B = (4, 7)\) alors :

\(\overrightarrow{AB} = (4-1, 7-3) = (3, 4)\)

tout vecteur peut s'écrire comme combinaison des vecteurs unitaires :

\(\vec{v} = (a, b) = a\hat{i} + b\hat{j}\)

Exemple : \((3, -2) = 3\hat{i} - 2\hat{j}\)

si \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) et \(\vec{v} = (v_1, v_2)\) :

Addition :

\(\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)\)

Soustraction :

\(\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)\)

Produit par un scalaire :

\(k \cdot \vec{v} = (k \cdot v_1, k \cdot v_2)\)

Exemples :

\((3, 2) + (1, 5) = (4, 7)\)

\((3, 2) - (1, 5) = (2, -3)\)

\(4 \cdot (3, 2) = (12, 8)\)

norme du vecteur \(\vec{v} = (a, b)\) :

\(|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

💡 c'est le théorème de Pythagore !

le vecteur est l'hypoténuse du triangle rectangle de côtés a et b.

Exemples :

\(|(3, 4)| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

\(|(1, 1)| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)

\(|(-2, 3)| = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\)

la distance entre \(A = (x_1, y_1)\) et \(B = (x_2, y_2)\) :

\(|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)

💡 Attention :

c'est exactement la norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) !

\(|AB| = |\overrightarrow{AB}|\)

Exemple :

distance entre \(A = (1, 2)\) et \(B = (4, 6)\) :

\(|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

vecteur unitaire dans la direction de \(\vec{v}\) :

\(\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1}{|\vec{v}|}(v_1, v_2)\)

Exemple :

trouver un vecteur unitaire dans la direction \(\vec{v} = (3, 4)\) :

Vérification : \(\left|\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)\right| = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{1} = 1\) ✓

Vecteurs égaux :

\((a, b) = (c, d) \iff a = c \text{ et } b = d\)

Vecteurs colinéaires :

\(\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} = k \cdot \vec{v}\)

ou : \((a, b) \parallel (c, d) \iff ad = bc\)

Exemple :

les vecteurs \((2, 6)\) et \((3, 9)\) sont-ils colinéaires ?

vérification : \(2 \cdot 9 = 18\) et \(6 \cdot 3 = 18\)

comme \(ad = bc\), les vecteurs sont colinéaires ! ✓

Exemple 1 : Soient les points \(A(2, 1)\), \(B(5, 3)\), \(C(1, 4)\).

trouver \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\).

Exemple 2 : trouver un vecteur de norme 10 dans la direction de \(\vec{v} = (3, 4)\).

dans la prochaine partie : produit scalaire, angle entre vecteurs