متجه الموضع للنقطة A هو المتجه من نقطة الأصل O إلى النقطة A:

\(\overrightarrow{OA}\)

💡 العلاقة بين نقطة ومتجه موضعها:

إذا \(A = (a_1, a_2)\) فمتجه الموضع هو \(\overrightarrow{OA} = (a_1, a_2)\)

يُمثَّل المتجه في المستوى بمركّبين:

\(\vec{v} = (v_1, v_2)\)

\(v_1\) = المركّب في اتجاه x     \(v_2\) = المركّب في اتجاه y

⭐ المتجه بين نقطتين:

إذا \(A = (a_1, a_2)\) و\(B = (b_1, b_2)\) فإن:

\(\overrightarrow{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2)\)

النهاية ناقص البداية!

مثال:

إذا \(A = (1, 3)\) و\(B = (4, 7)\) فإن:

\(\overrightarrow{AB} = (4-1, 7-3) = (3, 4)\)

يمكن كتابة أي متجه كتركيب خطي من متجهات الوحدة:

\(\vec{v} = (a, b) = a\hat{i} + b\hat{j}\)

مثال: \((3, -2) = 3\hat{i} - 2\hat{j}\)

إذا \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) و\(\vec{v} = (v_1, v_2)\):

الجمع:

\(\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)\)

الطرح:

\(\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)\)

الضرب بنقياس:

\(k \cdot \vec{v} = (k \cdot v_1, k \cdot v_2)\)

أمثلة:

\((3, 2) + (1, 5) = (4, 7)\)

\((3, 2) - (1, 5) = (2, -3)\)

\(4 \cdot (3, 2) = (12, 8)\)

طول المتجه \(\vec{v} = (a, b)\):

\(|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

💡 هذه نظرية فيثاغورس!

المتجه هو الوتر في مثلث قائم الزاوية بضلعين قائمين a وb.

أمثلة:

\(|(3, 4)| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

\(|(1, 1)| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)

\(|(-2, 3)| = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\)

المسافة بين \(A = (x_1, y_1)\) و\(B = (x_2, y_2)\):

\(|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)

💡 انتبه:

هذا بالضبط طول المتجه \(\overrightarrow{AB}\)!

\(|AB| = |\overrightarrow{AB}|\)

مثال:

المسافة بين \(A = (1, 2)\) و\(B = (4, 6)\):

\(|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

متجه الوحدة في اتجاه \(\vec{v}\):

\(\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1}{|\vec{v}|}(v_1, v_2)\)

مثال:

أوجد متجه الوحدة في اتجاه \(\vec{v} = (3, 4)\):

التحقق: \(\left|\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)\right| = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{1} = 1\) ✓

متجهات متساوية:

\((a, b) = (c, d) \iff a = c \text{ أيضًا } b = d\)

متجهات متوازية:

\(\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} = k \cdot \vec{v}\)

أو: \((a, b) \parallel (c, d) \iff ad = bc\)

مثال:

هل \((2, 6)\) و\((3, 9)\) متوازيان؟

التحقق: \(2 \cdot 9 = 18\) و\(6 \cdot 3 = 18\)

بما أن \(ad = bc\)، المتجهان متوازيان! ✓

مثال 1: نقاط معطاة \(A(2, 1)\), \(B(5, 3)\), \(C(1, 4)\).

أوجد \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\).

مثال 2: أوجد متجهاً طوله 10 في اتجاه \(\vec{v} = (3, 4)\).

في الجزء التالي: حاصل الضرب القياسي، الزاوية بين المتجهات