Équation linéaire — isoler l'inconnue

Une équation linéaire est une égalité dans laquelle l'inconnue \( x \) n'apparaît qu'à la première puissance, et le but est de trouver la valeur qui rend l'égalité vraie. C'est l'un des outils les plus fondamentaux de l'algèbre : il permet de traduire des situations concrètes en énoncé mathématique et de les résoudre. Dans ce guide, vous apprendrez à transposer les termes, à isoler l'inconnue et à construire une équation à partir d'un problème concret.

Contexte et définitions de base

Une équation linéaire à une inconnue est une expression de la forme \( ax + b = c \), avec \( a \neq 0 \). La solution est la valeur de \( x \) qui vérifie l'égalité.

Le principe central — l'équilibre : On peut imaginer une équation comme une balance en équilibre. Toute opération effectuée d'un côté doit être effectuée de l'autre côté pour conserver l'équilibre. Il est permis de :

ajouter ou soustraire le même nombre des deux membres ;
multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.

La transposition est un raccourci de ces opérations : lorsqu'on fait passer un terme d'un membre à l'autre, son signe change. Par exemple, de \( x + 5 = 12 \) on obtient \( x = 12 - 5 \), car on a soustrait \( 5 \) des deux membres.

Isoler l'inconnue signifie parvenir à une situation où \( x \) se trouve seul dans un membre. On commence par regrouper tous les termes en \( x \) d'un côté et tous les nombres de l'autre, puis on divise par le coefficient de \( x \).

Un problème concret se traduit en équation ainsi : on désigne la quantité inconnue par \( x \), on traduit la condition de l'énoncé en expression mathématique, on résout, puis on vérifie que la réponse est cohérente avec le contexte.

Étapes de résolution

Étape 1 — S'il y a des parenthèses, les développer ; s'il y a des fractions, multiplier toute l'équation par le dénominateur commun pour les éliminer.
Étape 2 — Transposer tous les termes contenant \( x \) dans un membre et tous les nombres dans l'autre, en changeant le signe de chaque terme transposé.
Étape 3 — Regrouper les termes semblables pour obtenir une forme simple \( ax = b \).
Étape 4 — Diviser les deux membres par le coefficient de \( x \) (le nombre \( a \)) pour obtenir la solution \( x = \frac{b}{a} \).
Étape 5 — Vérifier : substituer la solution dans l'équation d'origine et s'assurer que les deux membres sont égaux.
Étape 6 — Pour un problème concret : formuler la réponse en mots et vérifier qu'elle est cohérente (par exemple, un prix doit être positif).

Exemples résolus

Exemple 1 : Isoler l'inconnue — soustraction

Énoncé : Résolvez l'équation : \( x + 8 = 21 \)

Solution :

Pour isoler \( x \), on transpose \( 8 \) dans le membre de droite en changeant son signe : \( x = 21 - 8 \).
On calcule : \( x = 13 \).
Vérification : en substituant dans l'équation d'origine : \( 13 + 8 = 21 \). L'égalité est vérifiée.

Réponse : \( x = 13 \)

Exemple 2 : Isoler l'inconnue — division par le coefficient

Énoncé : Résolvez l'équation : \( 7x = 56 \)

Solution :

L'inconnue est multipliée par \( 7 \). Pour l'isoler, on divise les deux membres par \( 7 \).
On obtient : \( x = \frac{56}{7} = 8 \).
Vérification : \( 7 \cdot 8 = 56 \). C'est bien correct.

Réponse : \( x = 8 \)

Exemple 3 : Inconnue dans les deux membres

Énoncé : Résolvez l'équation : \( 5x - 4 = 2x + 11 \)

Solution :

On transpose \( 2x \) à gauche et \( -4 \) à droite, chacun avec son signe inversé : \( 5x - 2x = 11 + 4 \).
On regroupe les termes semblables : \( 3x = 15 \).
On divise par \( 3 \) : \( x = 5 \).
Vérification : membre gauche \( 5 \cdot 5 - 4 = 21 \) ; membre droit \( 2 \cdot 5 + 11 = 21 \). Égaux.

Réponse : \( x = 5 \)

Exemple 4 : Équation avec parenthèses et fraction

Énoncé : Résolvez l'équation : \( \frac{2(x + 3)}{4} = x - 1 \)

Solution :

On multiplie les deux membres par \( 4 \) pour éliminer le dénominateur : \( 2(x + 3) = 4(x - 1) \).
On développe les parenthèses : \( 2x + 6 = 4x - 4 \).
On transpose : \( 2x - 4x = -4 - 6 \), soit \( -2x = -10 \).
On divise par \( -2 \) : \( x = 5 \).
Vérification : \( \frac{2(5 + 3)}{4} = \frac{16}{4} = 4 \), et membre droit \( 5 - 1 = 4 \). Égaux.

Réponse : \( x = 5 \)

Exemple 5 : Problème concret — construire une équation

Énoncé : Quatre crayons identiques coûtent ensemble 36 €. Quel est le prix d'un seul crayon ?

Solution :

On désigne par \( x \) le prix d'un crayon en euros.
Quatre crayons coûtent \( 4x \), et d'après l'énoncé \( 4x = 36 \).
On divise par \( 4 \) : \( x = \frac{36}{4} = 9 \).
Vérification : \( 4 \cdot 9 = 36 \) €, ce qui correspond bien à la somme indiquée, et le prix est positif et raisonnable.

Réponse : Un crayon coûte \( 9 \) €.

Erreurs fréquentes

✗ Erreur fréquente : On transpose un terme sans changer son signe, par exemple de \( x + 8 = 21 \) on écrit \( x = 21 + 8 \).

✓ La bonne méthode : Tout terme qui change de membre change de signe. \( x + 8 = 21 \) devient \( x = 21 - 8 = 13 \). On peut se souvenir de cela en soustrayant \( 8 \) des deux membres.

✗ Erreur fréquente : On divise seulement un membre par le coefficient de \( x \) en oubliant de diviser l'autre membre.

✓ La bonne méthode : Pour conserver l'équilibre, il faut diviser les deux membres par le même nombre. De \( 3x = 15 \) on obtient \( x = \frac{15}{3} = 5 \).

✗ Erreur fréquente : Dans un problème concret, on pose \( x \) sans préciser ce qu'il représente, et on finit par confondre les grandeurs.

✓ La bonne méthode : On écrit toujours explicitement ce que représente \( x \) (par exemple « prix d'un crayon »). Cela évite les confusions et permet de formuler une réponse claire et de vérifier sa cohérence.

Conseils d'entraînement

Après avoir trouvé une solution, substituez-la toujours dans l'équation d'origine — si les deux membres sont égaux, la solution est correcte.
Commencez toujours par mettre l'équation en ordre : développer les parenthèses et éliminer les fractions. L'équation qui reste est bien plus simple à résoudre.
Pour éviter de diviser par un nombre négatif, transposez les termes en \( x \) du côté où leur coefficient est positif.
Pour un problème concret, lisez l'énoncé deux fois : identifiez d'abord ce qu'on cherche, puis désignez-le par \( x \).
Si vous obtenez une contradiction telle que \( 0 = 5 \), il n'y a pas de solution ; si vous obtenez une identité telle que \( 0 = 0 \), tout nombre est solution.

Résumé et formules clés

Points clés de l'équation linéaire :

On résout par étapes : développer les parenthèses, éliminer les fractions, transposer les termes, diviser par le coefficient.
En transposant — le signe change. En divisant — on divise les deux membres.
La forme finale \( ax = b \) donne \( x = \frac{b}{a} \).
On vérifie toujours en substituant dans l'équation d'origine.
Problème concret : désigner l'inconnue par \( x \), construire l'équation, résoudre et vérifier la cohérence de la réponse.