المعادلة الخطية في مجهول واحد هي \( ax + b = c \)، حيث \( a \neq 0 \). والحل هو قيمة \( x \) التي تحقق المساواة.

المبدأ الأساسي — التوازن: تخيّل المعادلة كميزان متوازن. كلّ ما تجريه على طرف يجب إجراؤه على الطرف الآخر للمحافظة على التوازن. المسموح به:

• جمع أو طرح العدد نفسه من طرفَي المعادلة.
• ضرب طرفَي المعادلة في العدد نفسه أو قسمتهما عليه، شريطة أن يكون مختلفًا عن الصفر.

نقل الحدود هو اختصار لهذه العمليات: عند نقل حدٍّ من طرف إلى آخر يُعكس إشارته. فمن \( x + 5 = 12 \) نحصل على \( x = 12 - 5 \)، لأننا طرحنا \( 5 \) من الطرفين.

عزل المجهول يعني الوصول إلى حالة يقف فيها \( x \) وحده على أحد الطرفين. نبدأ بنقل جميع حدود \( x \) إلى طرف وجميع الأعداد إلى الطرف الآخر، ثم نقسم على معامل \( x \).

المسألة اللفظية تُترجم إلى معادلة كما يلي: نُعبّر عن الكمية المجهولة بـ \( x \)، ونُحوّل الشرط المعطى إلى صياغة رياضية، ثم نحل ونتحقق من معقولية الإجابة.

مثال 1: عزل المجهول — الطرح

السؤال: حل المعادلة: \( x + 8 = 21 \)

الحل:

1. نريد عزل \( x \)، فننقل \( 8 \) إلى الطرف الأيمن بإشارة معكوسة: \( x = 21 - 8 \).
2. نحسب: \( x = 13 \).
3. التحقق: نُعوّض في الأصل: \( 13 + 8 = 21 \). المساواة تتحقق.

الإجابة: \( x = 13 \)

مثال 2: عزل المجهول — القسمة على المعامل

السؤال: حل المعادلة: \( 7x = 56 \)

الحل:

1. المجهول مضروب في \( 7 \). لعزله نقسم الطرفين على \( 7 \).
2. نحصل على: \( x = \frac{56}{7} = 8 \).
3. التحقق: \( 7 \cdot 8 = 56 \). صحيح.

الإجابة: \( x = 8 \)

مثال 3: المجهول في الطرفين

السؤال: حل المعادلة: \( 5x - 4 = 2x + 11 \)

الحل:

1. ننقل \( 2x \) إلى اليسار و \( -4 \) إلى اليمين مع عكس الإشارات: \( 5x - 2x = 11 + 4 \).
2. نجمع الحدود المتشابهة: \( 3x = 15 \).
3. نقسم على \( 3 \): \( x = 5 \).
4. التحقق: الطرف الأيسر \( 5 \cdot 5 - 4 = 21 \)؛ الطرف الأيمن \( 2 \cdot 5 + 11 = 21 \). متساويان.

الإجابة: \( x = 5 \)

مثال 4: معادلة بأقواس وكسر

السؤال: حل المعادلة: \( \frac{2(x + 3)}{4} = x - 1 \)

الحل:

1. نضرب الطرفين في \( 4 \) للتخلص من المقام: \( 2(x + 3) = 4(x - 1) \).
2. نفتح الأقواس: \( 2x + 6 = 4x - 4 \).
3. ننقل الحدود: \( 2x - 4x = -4 - 6 \)، أي \( -2x = -10 \).
4. نقسم على \( -2 \): \( x = 5 \).
5. التحقق: \( \frac{2(5 + 3)}{4} = \frac{16}{4} = 4 \)، والطرف الأيمن \( 5 - 1 = 4 \). متساويان.

الإجابة: \( x = 5 \)

مثال 5: مسألة لفظية — بناء المعادلة

السؤال: أربعة أقلام متطابقة تكلّف معًا \( 36 \) ريالًا. كم يكلّف القلم الواحد؟

الحل:

1. نُعبّر عن سعر القلم الواحد بـ \( x \) ريالًا.
2. ثمن أربعة أقلام يساوي \( 4x \)، وبحسب المعطى \( 4x = 36 \).
3. نقسم على \( 4 \): \( x = \frac{36}{4} = 9 \).
4. التحقق: \( 4 \cdot 9 = 36 \) ريالًا، وهو المبلغ المدفوع، والسعر موجب ومعقول.

الإجابة: سعر القلم الواحد \( 9 \) ريالات.

✗ خطأ شائع: نقل الحد من طرف إلى آخر دون عكس إشارته، مثل كتابة \( x = 21 + 8 \) من \( x + 8 = 21 \).

✓ الطريقة الصحيحة: كل حد يُنقل إلى الطرف الآخر يُعكس إشارته. \( x + 8 = 21 \) تصبح \( x = 21 - 8 = 13 \). يمكن تذكّر ذلك بأننا طرحنا \( 8 \) من الطرفين.

✗ خطأ شائع: قسمة طرف واحد فقط على معامل \( x \) ونسيان قسمة الطرف الآخر.

✓ الطريقة الصحيحة: للمحافظة على التوازن يجب قسمة الطرفين على العدد نفسه. من \( 3x = 15 \) نحصل على \( x = \frac{15}{3} = 5 \).

✗ خطأ شائع: في المسألة اللفظية تُحدَّد قيمة \( x \) دون تعريف ما تمثّله، مما يُربك بين الكميات المختلفة.

✓ الطريقة الصحيحة: اكتب دائمًا بوضوح ما يمثّله \( x \) (مثلًا 'سعر القلم الواحد'). هذا يمنع الخلط ويُمكّن من صياغة إجابة واضحة والتحقق من معقوليتها.

النقاط الأساسية للمعادلة الخطية:

• الحل يتم بخطوات: فتح الأقواس، إزالة الكسور، نقل الحدود، القسمة على المعامل.
• عند نقل الحدود — تُعكس الإشارة. عند القسمة — نقسم الطرفين.
• الصورة النهائية \( ax = b \) تعطي \( x = \frac{b}{a} \).
• نتحقق دائمًا بالتعويض في المعادلة الأصلية.
• المسألة اللفظية: نُعبّر عن المجهول بـ \( x \)، نبني المعادلة، نحل ونتحقق من معقولية الإجابة.