תרגול טריגונומטריה - הגדרת נקודות על מעגל היחידה
תרגול טריגונומטריה - הגדרת נקודות על מעגל היחידה. שאלות לתרגול ולהעמקת ההבנה בנושא טריגונומטריה - הגדרת נקודות על מעגל היחידה. תרגול מתמטיקה אונליין עם פתרונות והסברים מפורטים.
תרגול טריגונומטריה מעגל היחידה - הגדרה, משוואה x²+y²=1, רדיאנים, נקודות עיקריות, ארבעת הרבעים, זוויות שקולות.
- הגדרת מעגל היחידה (r=1, מרכז ב-(0,0))
- משוואה: x² + y² = 1
- כיוון מדידה: חיובי ↺, שלילי ↻
- יחידת רדיאן
- המרה: 180° = π rad
- נקודות עיקריות: (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)
- ארבעת הרבעים וסימני הקואורדינטות
- זוויות שקולות (הפרש 2π)
- אורך קשת = θ (ברדיאנים)
- היקף = 2π
📐 הגדרה:
מעגל היחידה הוא מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו:
מעגל היחידה הוא מעגל ש:
• מרכזו: \((0,0)\)
• רדיוסו: \(r = 1\) ✓
משוואה: \(x^2 + y^2 = 1\)
↻ כיוון:
זווית חיובית נמדדת בכיוון:
נגד כיוון השעון (↺) ✓
התחלה: מציר \(x\) החיובי
סיבוב: שמאלה (↺)
עם כיוון השעון (↻) ✗
זוויות שליליות
📏 רדיאן:
רדיאן אחד הוא הזווית שבה אורך הקשת על מעגל היחידה שווה ל:
רדיאן אחד = הזווית שבה אורך הקשת = \(1\) ✓
(על מעגל היחידה!)
זווית \(\theta\) (ברדיאנים) = אורך קשת / רדיוס
במעגל יחידה: \(\theta = \frac{s}{1} = s\) ✓
🔄 המרה:
\(180^\circ\) שווה ל:
\(180^\circ = \pi\) רדיאנים ✓
זה היחס הבסיסי להמרות!
• \(360^\circ = 2\pi\)
• \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\)
• \(45^\circ = \frac{\pi}{4}\)
• \(30^\circ = \frac{\pi}{6}\)
• \(60^\circ = \frac{\pi}{3}\)
📍 נקודה:
הנקודה על מעגל היחידה בזווית \(0\) היא:
בזווית \(\theta = 0\):
הנקודה היא \((1, 0)\) ✓
על ציר \(x\) החיובי
📍 נקודה:
הנקודה על מעגל היחידה בזווית \(\frac{\pi}{2}\) היא:
בזווית \(\theta = \frac{\pi}{2}\) (\(90^\circ\)):
הנקודה היא \((0, 1)\) ✓
על ציר \(y\) החיובי
📍 נקודה:
הנקודה על מעגל היחידה בזווית \(\pi\) היא:
בזווית \(\theta = \pi\) (\(180^\circ\)):
הנקודה היא \((-1, 0)\) ✓
על ציר \(x\) השלילי
📍 נקודה:
הנקודה על מעגל היחידה בזווית \(\frac{3\pi}{2}\) היא:
בזווית \(\theta = \frac{3\pi}{2}\) (\(270^\circ\)):
הנקודה היא \((0, -1)\) ✓
על ציר \(y\) השלילי
🔢 רבעים:
ברבע הראשון (\(0\) עד \(\frac{\pi}{2}\)), הקואורדינטות הן:
רבע II (\(\frac{\pi}{2}\) עד \(\pi\)): \((-, +)\)
רבע III (\(\pi\) עד \(\frac{3\pi}{2}\)): \((-, -)\)
רבע IV (\(\frac{3\pi}{2}\) עד \(2\pi\)): \((+, -)\)
↔️ זוויות שקולות:
הזוויות \(0\) ו-\(2\pi\) מגיעות:
זוויות שונות ב-\(2\pi\) מגיעות לאותה נקודה ✓
דוגמאות:
• \(0, 2\pi, 4\pi, \ldots\)
• \(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \ldots\)
↻ זווית שלילית:
הנקודה בזווית \(-\frac{\pi}{2}\) היא:
זווית \(-\frac{\pi}{2}\) = סיבוב עם כיוון השעון (↻)
מגיעים ל-\((0, -1)\) ✓
\(-\frac{\pi}{2}\) שקולה ל-\(\frac{3\pi}{2}\) ✓
⭕ היקף:
היקף מעגל היחידה הוא:
היקף = \(2\pi r\)
במעגל יחידה: \(r = 1\)
לכן: היקף = \(2\pi \cdot 1 = 2\pi\) ✓
📏 אורך קשת:
על מעגל היחידה, אורך הקשת בזווית \(\theta\) (ברדיאנים) שווה ל:
אורך קשת = \(r \cdot \theta\)
במעגל יחידה: \(r = 1\)
לכן: אורך קשת = \(1 \cdot \theta = \theta\) ✓
הזווית ברדיאנים = אורך הקשת ✓
🔄 המרה:
\(90^\circ\) שווה ל:
\(180^\circ = \pi\)
לכן: \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\) ✓
(חצי מ-\(180^\circ\))
🔄 המרה:
\(45^\circ\) שווה ל:
\(90^\circ = \frac{\pi}{2}\)
לכן: \(45^\circ = \frac{\pi}{4}\) ✓
(חצי מ-\(90^\circ\))
🔄 המרה:
\(30^\circ\) שווה ל:
\(180^\circ = \pi\)
לכן: \(30^\circ = \frac{\pi}{6}\) ✓
(\(\frac{30}{180} = \frac{1}{6}\))
🔄 המרה:
\(60^\circ\) שווה ל:
\(180^\circ = \pi\)
לכן: \(60^\circ = \frac{\pi}{3}\) ✓
(\(\frac{60}{180} = \frac{1}{3}\))
✓ בדיקה:
איזו נקודה נמצאת על מעגל היחידה?
צריך: \(x^2 + y^2 = 1\)
\(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\)
\(= \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{4}{4} = 1\) ✓
↔️ שקילות:
הזווית \(\frac{7\pi}{4}\) שקולה ל:
\(\frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}\)
מחזור מלא מינוס \(\frac{\pi}{4}\)
שקול ל-\(-\frac{\pi}{4}\) ✓
📚 סיכום:
איזו טענה לא נכונה?
"רדיוס מעגל היחידה הוא \(\pi\)"
זה לא נכון! ✗
הרדיוס הוא \(1\), לא \(\pi\)! ⚠️
✓ הגדרה:
• מרכז: \((0,0)\)
• רדיוס: \(r = 1\)
• משוואה: \(x^2 + y^2 = 1\)
✓ כיוון:
• חיובי: נגד כיוון השעון ↺
• שלילי: עם כיוון השעון ↻
✓ רדיאן:
• הגדרה: אורך קשת = \(1\)
• \(180^\circ = \pi\) רדיאנים
✓ נקודות מפתח:
• \(\theta = 0\): \((1, 0)\)
• \(\theta = \frac{\pi}{2}\): \((0, 1)\)
• \(\theta = \pi\): \((-1, 0)\)
• \(\theta = \frac{3\pi}{2}\): \((0, -1)\)
✓ רבעים:
• רבע I: \((+,+)\)
• רבע II: \((-,+)\)
• רבע III: \((-,-)\)
• רבע IV: \((+,-)\)
✓ מידות:
• היקף: \(2\pi\)
• אורך קשת בזווית \(\theta\): \(\theta\)