علم المثلثات — تعريف النقاط على دائرة الوحدة
علم المثلثات — تعريف النقاط على دائرة الوحدة. أسئلة تدريبية لتعميق الفهم في تعريف النقاط على دائرة الوحدة. تدريب رياضيات أونلاين مع حلول كاملة وشروحات مفصلة خطوة بخطوة.
تدريب تعريف دائرة الوحدة — التعريف، المعادلة x²+y²=1، الراديانات، النقاط الرئيسية، الأرباع الأربعة، الزوايا المكافئة.
- تعريف دائرة الوحدة (r=1، المركز في (0,0))
📐 تعريف:
دائرة الوحدة هي دائرة مركزها في نقطة الأصل ونصف قطرها:
دائرة الوحدة هي دائرة:
• مركزها: \((0,0)\)
• نصف قطرها: \(r = 1\) ✓
المعادلة: \(x^2 + y^2 = 1\)
↻ اتّجاه:
الزاوية الموجبة تُقاس في اتّجاه:
عكس عقارب الساعة (↺) ✓
البداية: من محور \(x\) الموجب
الدوران: إلى اليسار (↺)
مع عقارب الساعة (↻) ✗
زوايا سالبة
📏 راديان:
راديان واحد هو الزاوية التي يتساوى عندها طول القوس على دائرة الوحدة مع:
راديان واحد = الزاوية التي يكون فيها طول القوس = \(1\) ✓
(على دائرة الوحدة!)
الزاوية \(\theta\) (بالراديان) = طول القوس / نصف القطر
في دائرة الوحدة: \(\theta = \frac{s}{1} = s\) ✓
🔄 تحويل:
\(180^\circ\) تساوي:
\(180^\circ = \pi\) راديان ✓
هذه النسبة الأساسيّة للتحويلات!
• \(360^\circ = 2\pi\)
• \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\)
• \(45^\circ = \frac{\pi}{4}\)
• \(30^\circ = \frac{\pi}{6}\)
• \(60^\circ = \frac{\pi}{3}\)
📍 نقطة:
النقطة على دائرة الوحدة عند الزاوية \(0\) هي:
عند الزاوية \(\theta = 0\):
النقطة هي \((1, 0)\) ✓
على محور \(x\) الموجب
📍 نقطة:
النقطة على دائرة الوحدة عند الزاوية \(\frac{\pi}{2}\) هي:
عند الزاوية \(\theta = \frac{\pi}{2}\) (\(90^\circ\)):
النقطة هي \((0, 1)\) ✓
على محور \(y\) الموجب
📍 نقطة:
النقطة على دائرة الوحدة عند الزاوية \(\pi\) هي:
عند الزاوية \(\theta = \pi\) (\(180^\circ\)):
النقطة هي \((-1, 0)\) ✓
على محور \(x\) السالب
📍 نقطة:
النقطة على دائرة الوحدة عند الزاوية \(\frac{3\pi}{2}\) هي:
عند الزاوية \(\theta = \frac{3\pi}{2}\) (\(270^\circ\)):
النقطة هي \((0, -1)\) ✓
على محور \(y\) السالب
🔢 الأرباع:
في الربع الأوّل (\(0\) حتّى \(\frac{\pi}{2}\))، الإحداثيّات هي:
الربع II (\(\frac{\pi}{2}\) حتّى \(\pi\)): \((-, +)\)
الربع III (\(\pi\) حتّى \(\frac{3\pi}{2}\)): \((-, -)\)
الربع IV (\(\frac{3\pi}{2}\) حتّى \(2\pi\)): \((+, -)\)
↔️ زوايا متكافئة:
الزاويتان \(0\) و\(2\pi\) تصلان إلى:
الزوايا التي تفرق بـ \(2\pi\) تصل إلى نفس النقطة ✓
أمثلة:
• \(0, 2\pi, 4\pi, \ldots\)
• \(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \ldots\)
↻ زاوية سالبة:
النقطة عند الزاوية \(-\frac{\pi}{2}\) هي:
الزاوية \(-\frac{\pi}{2}\) = دوران مع عقارب الساعة (↻)
نصل إلى \((0, -1)\) ✓
\(-\frac{\pi}{2}\) تكافئ \(\frac{3\pi}{2}\) ✓
⭕ المحيط:
محيط دائرة الوحدة هو:
المحيط = \(2\pi r\)
في دائرة الوحدة: \(r = 1\)
إذن: المحيط = \(2\pi \cdot 1 = 2\pi\) ✓
📏 طول القوس:
على دائرة الوحدة، طول القوس عند الزاوية \(\theta\) (بالراديان) يساوي:
طول القوس = \(r \cdot \theta\)
في دائرة الوحدة: \(r = 1\)
إذن: طول القوس = \(1 \cdot \theta = \theta\) ✓
الزاوية بالراديان = طول القوس ✓
🔄 تحويل:
\(90^\circ\) تساوي:
\(180^\circ = \pi\)
إذن: \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\) ✓
(نصف \(180^\circ\))
🔄 تحويل:
\(45^\circ\) تساوي:
\(90^\circ = \frac{\pi}{2}\)
إذن: \(45^\circ = \frac{\pi}{4}\) ✓
(نصف \(90^\circ\))
🔄 تحويل:
\(30^\circ\) تساوي:
\(180^\circ = \pi\)
إذن: \(30^\circ = \frac{\pi}{6}\) ✓
(\(\frac{30}{180} = \frac{1}{6}\))
🔄 تحويل:
\(60^\circ\) تساوي:
\(180^\circ = \pi\)
إذن: \(60^\circ = \frac{\pi}{3}\) ✓
(\(\frac{60}{180} = \frac{1}{3}\))
✓ تحقّق:
أيُّ نقطة تقع على دائرة الوحدة؟
نحتاج: \(x^2 + y^2 = 1\)
\(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\)
\(= \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{4}{4} = 1\) ✓
↔️ تكافؤ:
الزاوية \(\frac{7\pi}{4}\) تكافئ:
\(\frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}\)
دَور كامل ناقص \(\frac{\pi}{4}\)
تكافئ \(-\frac{\pi}{4}\) ✓
📚 ملخّص:
أيُّ عبارة غير صحيحة؟
"نصف قطر دائرة الوحدة هو \(\pi\)"
هذا غير صحيح! ✗
نصف القطر هو \(1\)، لا \(\pi\)! ⚠️
✓ التعريف:
• المركز: \((0,0)\)
• نصف القطر: \(r = 1\)
• المعادلة: \(x^2 + y^2 = 1\)
✓ الاتّجاه:
• الموجب: عكس عقارب الساعة ↺
• السالب: مع عقارب الساعة ↻
✓ الراديان:
• التعريف: طول القوس = \(1\)
• \(180^\circ = \pi\) راديان
✓ النقاط المفتاحيّة:
• \(\theta = 0\): \((1, 0)\)
• \(\theta = \frac{\pi}{2}\): \((0, 1)\)
• \(\theta = \pi\): \((-1, 0)\)
• \(\theta = \frac{3\pi}{2}\): \((0, -1)\)
✓ الأرباع:
• الربع I: \((+,+)\)
• الربع II: \((-,+)\)
• الربع III: \((-,-)\)
• الربع IV: \((+,-)\)
✓ القياسات:
• المحيط: \(2\pi\)
• طول القوس عند الزاوية \(\theta\): \(\theta\)