תרגול תחום הגדרה של פונקציה רציונלית

💡 הסבר מפורט:

מהי פונקציה רציונלית? 📚
פונקציה רציונלית היא פונקציה מהצורה:
\(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\)
כאשר P(x) ו-Q(x) פולינומים.

כלל תחום הגדרה ⭐
תחום ההגדרה כולל את כל הערכים של x
למעט אלו שבהם המכנה = 0

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
במקרה שלנו:
מכנה = x - 3

שלב 2: מציאת איפוס המכנה 📐
מתי המכנה = 0?
x - 3 = 0
x = 3

שלב 3: כתיבת תחום ההגדרה ✍️
המכנה מתאפס ב-x = 3
לכן הפונקציה לא מוגדרת ב-x = 3

תחום ההגדרה: כל המספרים הממשיים חוץ מ-3

שלב 4: סימונים שונים 📝
ניתן לכתוב בכמה דרכים:
• \(x \neq 3\)
• \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)
• \((-\infty, 3) \cup (3, \infty)\)
• \(D_f = \{x \in \mathbb{R} : x \neq 3\}\)

בדיקה 🧪
ב-x = 3:
f(3) = 1/(3-3) = 1/0 = לא מוגדר ✓

ב-x = 2:
f(2) = 1/(2-3) = 1/(-1) = -1 ✓ מוגדר

ב-x = 4:
f(4) = 1/(4-3) = 1/1 = 1 ✓ מוגדר

טבלה 📊

למה x = 3 בעייתי? 💭
כי חלוקה באפס לא מוגדרת במתמטיקה!
1/0 = אין משמעות

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "x > 3": גם x < 3 מוגדר!
• "x ≥ 3": גם x = 3 לא מוגדר
• "כל המספרים": x = 3 לא כלול

תשובה: x ≠ 3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מונה: x + 1
מכנה: x + 5

שים לב: רק המכנה משנה!

שלב 2: איפוס המכנה 📐
x + 5 = 0
x = -5

שלב 3: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq -5\)

שלב 4: בדיקה 🧪
ב-x = -5:
f(-5) = (-5+1)/(-5+5) = -4/0 ✗

ב-x = -1:
f(-1) = (-1+1)/(-1+5) = 0/4 = 0 ✓

המונה יכול להתאפס! זה בסדר!
הבעיה רק כשהמכנה = 0

טבלה 📊

תשובה: x ≠ -5

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 4

שלב 2: זיהוי נוסחה מוכרת 📐
x² - 4 זו הפרש ריבועים!
x² - 4 = x² - 2²
= (x - 2)(x + 2)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
(x - 2)(x + 2) = 0

מכפלה = 0 כאשר אחד הגורמים = 0:
• x - 2 = 0 → x = 2
• x + 2 = 0 → x = -2

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
המכנה מתאפס ב-שתי נקודות:
\(x \neq 2\) וגם \(x \neq -2\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 2:
f(2) = 1/(4-4) = 1/0 ✗

ב-x = -2:
f(-2) = 1/(4-4) = 1/0 ✗

ב-x = 0:
f(0) = 1/(0-4) = -1/4 ✓

ב-x = 3:
f(3) = 1/(9-4) = 1/5 ✓

טבלה 📊

הערה חשובה ⚠️
כשיש ריבוע במכנה, בדוק תמיד:
• האם זה הפרש ריבועים?
• האם אפשר לפרק?
• יכולות להיות שתי תשובות!

תשובה: x ≠ 2 וגם x ≠ -2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 9

שלב 2: פירוק המכנה 📐
x² - 9 = x² - 3²
= (x - 3)(x + 3)

שלב 3: איפוס 🔢
(x - 3)(x + 3) = 0

• x - 3 = 0 → x = 3
• x + 3 = 0 → x = -3

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 3, x \neq -3\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
מכנה: 9 - 9 = 0 ✗

ב-x = -3:
מכנה: 9 - 9 = 0 ✗

ב-x = 0:
f(0) = 3/(-9) = -1/3 ✓

ב-x = -3/2:
מכנה: 9/4 - 9 = -27/4 ≠ 0 ✓
המונה: 0, אבל זה בסדר!

טבלה 📊

תשובה: x ≠ 3, x ≠ -3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: (x - 1)(x + 2)

המכנה כבר מפורק! ✓

שלב 2: איפוס המכנה 📐
מכפלה = 0 כאשר אחד הגורמים = 0:

• x - 1 = 0 → x = 1
• x + 2 = 0 → x = -2

שלב 3: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 1, x \neq -2\)

שלב 4: בדיקות 🧪
ב-x = 1:
מכנה: (1-1)(1+2) = 0·3 = 0 ✗

ב-x = -2:
מכנה: (-2-1)(-2+2) = -3·0 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: (0-1)(0+2) = -1·2 = -2 ≠ 0 ✓
f(0) = 1/(-2) = -1/2

טבלה 📊

כלל חשוב ⭐
במכפלה של גורמים:
מספיק שאחד יהיה 0 → כל המכפלה = 0

תשובה: x ≠ 1, x ≠ -2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² + 4

שלב 2: ניסיון לאפס את המכנה 📐
x² + 4 = 0
x² = -4

בעיה! אין פתרון ממשי!
ריבוע של מספר ממשי תמיד ≥ 0
לכן x² ≥ 0
ולכן x² + 4 ≥ 4 > 0

שלב 3: מסקנה 💭
המכנה לעולם לא מתאפס!
לכן הפונקציה מוגדרת בכל מקום!

שלב 4: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
מכנה: 0 + 4 = 4 ✓

ב-x = 2:
מכנה: 4 + 4 = 8 ✓

ב-x = -2:
מכנה: 4 + 4 = 8 ✓

ב-x = 100:
מכנה: 10000 + 4 = 10004 ✓

טבלה 📊

כלל כללי ⭐
אם במכנה יש ביטוי מהצורה:
• x² + מספר חיובי
• x⁴ + מספר חיובי
• וכו'

המכנה לעולם לא מתאפס!
תחום ההגדרה: כל ℝ

למה x² + 4 לא יכול להתאפס? 💭
• המינימום של x² הוא 0 (ב-x=0)
• לכן המינימום של x² + 4 הוא 4
• אף פעם לא מגיע ל-0!

תשובה: כל המספרים הממשיים

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 5x + 6

זהו טרינום ריבועי!

שלב 2: פירוק הטרינום 📐
צריך למצוא שני מספרים ש:
• מכפלתם = 6
• סכומם = -5

ננסה אפשרויות:
• 1 · 6 = 6, אבל 1 + 6 = 7 ✗
• (-1) · (-6) = 6, וגם (-1) + (-6) = -7 ✗
• 2 · 3 = 6, אבל 2 + 3 = 5 ✗
• (-2) · (-3) = 6, וגם (-2) + (-3) = -5 ✓

מצאנו! -2 ו--3

שלב 3: כתיבת הפירוק ✍️
x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

שלב 4: בדיקת הפירוק 🧪
(x - 2)(x - 3)
= x² - 3x - 2x + 6
= x² - 5x + 6 ✓

נכון!

שלב 5: איפוס המכנה 🔢
(x - 2)(x - 3) = 0

• x - 2 = 0 → x = 2
• x - 3 = 0 → x = 3

שלב 6: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq 2, x \neq 3\)

שלב 7: בדיקות מספריות 🔍
ב-x = 2:
מכנה: 4 - 10 + 6 = 0 ✗

ב-x = 3:
מכנה: 9 - 15 + 6 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 0 + 6 = 6 ✓

ב-x = 1:
מכנה: 1 - 5 + 6 = 2 ✓

ב-x = 4:
מכנה: 16 - 20 + 6 = 2 ✓

טבלה 📊

הערה חשובה ⚠️
שים לב שגם המונה מתאפס ב-x = 2,
אבל זה לא משנה!
הבעיה היא רק כשהמכנה = 0

תשובה: x ≠ 2, x ≠ 3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - x

שלב 2: הוצאת גורם משותף 📐
יש x בשני האיברים!
x² - x = x(x - 1)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
x(x - 1) = 0

מכפלה = 0 כאשר אחד הגורמים = 0:
• x = 0
• x - 1 = 0 → x = 1

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 0, x \neq 1\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
מכנה: 0 - 0 = 0 ✗

ב-x = 1:
מכנה: 1 - 1 = 0 ✗

ב-x = 2:
מכנה: 4 - 2 = 2 ✓
f(2) = 1/2

ב-x = -1:
מכנה: 1 - (-1) = 2 ✓
f(-1) = 1/2

טבלה 📊

טעות נפוצה ❌
לשכוח את x = 0!
אנשים לפעמים זוכרים רק x = 1
אבל גם x = 0 מאפס את המכנה!

כלל חשוב ⭐
כשרואים x² - x או x² + x,
תמיד הוצא x משותף!

תשובה: x ≠ 0, x ≠ 1

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² + x - 6

שלב 2: פירוק הטרינום 📐
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -6
• סכומם = +1

אפשרויות:
• 1 · (-6) = -6, וגם 1 + (-6) = -5 ✗
• 2 · (-3) = -6, וגם 2 + (-3) = -1 ✗
• 3 · (-2) = -6, וגם 3 + (-2) = 1 ✓
• (-1) · 6 = -6, וגם (-1) + 6 = 5 ✗

מצאנו! 3 ו--2

שלב 3: כתיבת הפירוק ✍️
x² + x - 6 = (x + 3)(x - 2)

שלב 4: בדיקת הפירוק 🧪
(x + 3)(x - 2)
= x² - 2x + 3x - 6
= x² + x - 6 ✓

שלב 5: איפוס המכנה 🔢
(x + 3)(x - 2) = 0

• x + 3 = 0 → x = -3
• x - 2 = 0 → x = 2

שלב 6: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq 2, x \neq -3\)

שלב 7: בדיקות 🔍
ב-x = -3:
מכנה: 9 - 3 - 6 = 0 ✗

ב-x = 2:
מכנה: 4 + 2 - 6 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 + 0 - 6 = -6 ✓
f(0) = 1/(-6) = -1/6

ב-x = 1:
מכנה: 1 + 1 - 6 = -4 ✓
f(1) = 4/(-4) = -1

טבלה 📊

תשובה: x ≠ 2, x ≠ -3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: 2x - 8

שלב 2: הוצאת גורם משותף 📐
2x - 8 = 2(x - 4)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
2(x - 4) = 0

חלק ל-2:
x - 4 = 0
x = 4

או ישירות:
2x - 8 = 0
2x = 8
x = 4

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 4\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 4:
מכנה: 2(4) - 8 = 8 - 8 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 8 = -8 ✓
f(0) = 5/(-8) = -5/8

ב-x = 5:
מכנה: 10 - 8 = 2 ✓
f(5) = 10/2 = 5

ב-x = -5:
מכנה: -10 - 8 = -18 ✓
f(-5) = 0/(-18) = 0

טבלה 📊

הערה 💡
כשהמכנה הוא לינארי (ממעלה ראשונה),
תמיד יש רק נקודה אחת שאסורה!

תשובה: x ≠ 4

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 16

שלב 2: זיהוי הפרש ריבועים 📐
x² - 16 = x² - 4²
= (x - 4)(x + 4)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
(x - 4)(x + 4) = 0

• x - 4 = 0 → x = 4
• x + 4 = 0 → x = -4

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 4, x \neq -4\)

שלב 5: הערה על המונה 💭
המונה: x² + 1
זה תמיד חיובי!
x² ≥ 0, לכן x² + 1 ≥ 1 > 0

אבל זה לא משנה לתחום ההגדרה!
רק המכנה משנה!

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 4:
מכנה: 16 - 16 = 0 ✗

ב-x = -4:
מכנה: 16 - 16 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 16 = -16 ✓
f(0) = 1/(-16) = -1/16

ב-x = 5:
מכנה: 25 - 16 = 9 ✓
f(5) = 26/9

טבלה 📊

תשובה: x ≠ 4, x ≠ -4

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² + 6x + 9

שלב 2: זיהוי ריבוע מושלם 📐
האם זה ריבוע מושלם?
בואו נבדוק: (x + 3)²

(x + 3)² = x² + 2·3·x + 3²
= x² + 6x + 9 ✓

כן! זה ריבוע מושלם!

שלב 3: כתיבה מחדש ✍️
x² + 6x + 9 = (x + 3)²

שלב 4: איפוס המכנה 🔢
(x + 3)² = 0

ריבוע = 0 רק כאשר הבסיס = 0:
x + 3 = 0
x = -3

שלב 5: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq -3\)

שים לב: רק נקודה אחת אסורה!
למרות שהמכנה ממעלה שנייה!

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -3:
מכנה: 9 - 18 + 9 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 + 0 + 9 = 9 ✓
f(0) = 1/9

ב-x = -2:
מכנה: 4 - 12 + 9 = 1 ✓
f(-2) = 1/1 = 1

ב-x = -4:
מכנה: 16 - 24 + 9 = 1 ✓
f(-4) = 1/1 = 1

טבלה 📊

כלל חשוב ⭐
ריבוע מושלם מתאפס רק ב-נקודה אחת!
(x + a)² = 0 רק כאשר x = -a

תשובה: x ≠ -3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: 3x + 6

שלב 2: הוצאת גורם משותף 📐
3x + 6 = 3(x + 2)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
3(x + 2) = 0

חלק ב-3:
x + 2 = 0
x = -2

או ישירות:
3x + 6 = 0
3x = -6
x = -2

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq -2\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = -2:
מכנה: 3(-2) + 6 = -6 + 6 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 + 6 = 6 ✓
f(0) = -1/6

ב-x = 1/2:
מכנה: 3/2 + 6 = 15/2 ✓
f(1/2) = 0/(15/2) = 0
המונה = 0, אבל זה בסדר!

ב-x = 1:
מכנה: 3 + 6 = 9 ✓
f(1) = 1/9

טבלה 📊

תשובה: x ≠ -2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מונה: x³ (לא משנה)
מכנה: x² - 1

שלב 2: פירוק המכנה 📐
x² - 1 = x² - 1²
= (x - 1)(x + 1)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
(x - 1)(x + 1) = 0

• x - 1 = 0 → x = 1
• x + 1 = 0 → x = -1

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 1, x \neq -1\)

שלב 5: הערה על המונה 💭
המונה x³ מתאפס ב-x = 0
אבל זה בסדר גמור!
f(0) = 0/(-1) = 0 ✓

המכנה ב-x = 0 הוא -1 ≠ 0

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 1:
מכנה: 1 - 1 = 0 ✗

ב-x = -1:
מכנה: 1 - 1 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 1 = -1 ✓
f(0) = 0/(-1) = 0

ב-x = 2:
מכנה: 4 - 1 = 3 ✓
f(2) = 8/3

טבלה 📊

תשובה: x ≠ 1, x ≠ -1

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² + 2x

שלב 2: הוצאת גורם משותף 📐
x² + 2x = x(x + 2)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
x(x + 2) = 0

• x = 0
• x + 2 = 0 → x = -2

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 0, x \neq -2\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
מכנה: 0 + 0 = 0 ✗

ב-x = -2:
מכנה: 4 - 4 = 0 ✗

ב-x = 1:
מכנה: 1 + 2 = 3 ✓
f(1) = 5/3

ב-x = -1:
מכנה: 1 - 2 = -1 ✓
f(-1) = 5/(-1) = -5

טבלה 📊

טעות נפוצה ❌
לשכוח את x = 0!
תמיד כשיש x² ± bx, יש אפס!

תשובה: x ≠ 0, x ≠ -2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 4x + 4

שלב 2: זיהוי ריבוע מושלם 📐
האם זה ריבוע מושלם?

(x - 2)² = x² - 2·2·x + 2²
= x² - 4x + 4 ✓

כן!

שלב 3: כתיבה מחדש ✍️
מכנה: (x - 2)²

שלב 4: איפוס המכנה 🔢
(x - 2)² = 0
x - 2 = 0
x = 2

שלב 5: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq 2\)

שלב 6: הערה על המונה 💭
המונה: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

המונה מתאפס ב-x = 2 וגם ב-x = -2
אבל זה לא משנה!

רק המכנה קובע את תחום ההגדרה!

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 2:
מכנה: (2-2)² = 0 ✗

ב-x = -2:
מכנה: (-2-2)² = 16 ✓
f(-2) = (4-4)/16 = 0/16 = 0

ב-x = 0:
מכנה: (0-2)² = 4 ✓
f(0) = (0-4)/4 = -4/4 = -1

ב-x = 3:
מכנה: (3-2)² = 1 ✓
f(3) = (9-4)/1 = 5

טבלה 📊

תשובה: x ≠ 2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 7x + 12

שלב 2: פירוק הטרינום 📐
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = 12
• סכומם = -7

אפשרויות עבור מכפלה 12:
• 1 · 12 → סכום: 13 ✗
• 2 · 6 → סכום: 8 ✗
• 3 · 4 → סכום: 7 ✗
• (-3) · (-4) → סכום: -7 ✓

מצאנו! -3 ו--4

שלב 3: כתיבת הפירוק ✍️
x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)

שלב 4: בדיקת הפירוק 🧪
(x - 3)(x - 4)
= x² - 4x - 3x + 12
= x² - 7x + 12 ✓

שלב 5: איפוס המכנה 🔢
(x - 3)(x - 4) = 0

• x - 3 = 0 → x = 3
• x - 4 = 0 → x = 4

שלב 6: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq 3, x \neq 4\)

שלב 7: בדיקות 🔍
ב-x = 3:
מכנה: 9 - 21 + 12 = 0 ✗

ב-x = 4:
מכנה: 16 - 28 + 12 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 0 + 12 = 12 ✓
f(0) = 1/12

ב-x = 5:
מכנה: 25 - 35 + 12 = 2 ✓
f(5) = 1/2

טבלה 📊

תשובה: x ≠ 3, x ≠ 4

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x²

שלב 2: איפוס המכנה 📐
x² = 0
x = 0

רק נקודה אחת!

שלב 3: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 0\)

שלב 4: הערה חשובה 💭
למרות שהמכנה ממעלה שנייה,
יש רק נקודה אחת אסורה!

למה? כי x² = 0 רק כאשר x = 0

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
מכנה: 0² = 0 ✗

ב-x = 1:
מכנה: 1² = 1 ✓
f(1) = 4/1 = 4

ב-x = -1:
מכנה: (-1)² = 1 ✓
f(-1) = 2/1 = 2

ב-x = -3:
מכנה: (-3)² = 9 ✓
f(-3) = 0/9 = 0
המונה = 0, אבל זה בסדר!

טבלה 📊

כלל כללי ⭐
כשהמכנה הוא חזקה של x:
• x² → רק x = 0 אסור
• x³ → רק x = 0 אסור
• x⁴ → רק x = 0 אסור
וכו'

תשובה: x ≠ 0

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: (x + 2)(x - 3)

המכנה כבר מפורק! זה מקל עלינו ✓

שלב 2: איפוס המכנה 📐
(x + 2)(x - 3) = 0

מכפלה = 0 כאשר אחד הגורמים = 0:
• x + 2 = 0 → x = -2
• x - 3 = 0 → x = 3

שלב 3: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq -2, x \neq 3\)

שלב 4: הערה על המונה 💭
המונה: x - 1
מתאפס ב-x = 1

אבל x = 1 מוגדר!
כי המכנה ב-x = 1:
(1 + 2)(1 - 3) = 3·(-2) = -6 ≠ 0 ✓

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = -2:
מכנה: 0·(-5) = 0 ✗

ב-x = 3:
מכנה: 5·0 = 0 ✗

ב-x = 1:
מכנה: 3·(-2) = -6 ✓
f(1) = 0/(-6) = 0

ב-x = 0:
מכנה: 2·(-3) = -6 ✓
f(0) = -1/(-6) = 1/6

טבלה 📊

תשובה: x ≠ -2, x ≠ 3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² + 9

שלב 2: ניסיון לאפס 📐
x² + 9 = 0
x² = -9

בעיה! אין פתרון ממשי!
ריבוע לא יכול להיות שלילי

שלב 3: ניתוח 💭
x² ≥ 0 תמיד
לכן x² + 9 ≥ 9 > 0 תמיד!

המכנה לעולם לא מתאפס!

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
כל המספרים הממשיים!
\(\mathbb{R}\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
מכנה: 0 + 9 = 9 ✓
f(0) = 2/9

ב-x = 3:
מכנה: 9 + 9 = 18 ✓
f(3) = 2/18 = 1/9

ב-x = -3:
מכנה: 9 + 9 = 18 ✓
f(-3) = 1/9

ב-x = 100:
מכנה: 10000 + 9 = 10009 ✓
f(100) = 2/10009

טבלה 📊

כלל כללי ⭐
x² + מספר חיובי → תמיד חיובי!
לעולם לא מתאפס!

תשובה: כל המספרים הממשיים

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 3x - 10

שלב 2: פירוק הטרינום 📐
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -10
• סכומם = -3

אפשרויות:
• 1 · (-10) → סכום: -9 ✗
• 2 · (-5) → סכום: -3 ✓
• (-2) · 5 → סכום: 3 ✗

מצאנו! 2 ו--5

שלב 3: כתיבת הפירוק ✍️
x² - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)

שלב 4: בדיקת הפירוק 🧪
(x + 2)(x - 5)
= x² - 5x + 2x - 10
= x² - 3x - 10 ✓

שלב 5: איפוס המכנה 🔢
(x + 2)(x - 5) = 0

• x + 2 = 0 → x = -2
• x - 5 = 0 → x = 5

שלב 6: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq 5, x \neq -2\)

שלב 7: בדיקות 🔍
ב-x = 5:
מכנה: 25 - 15 - 10 = 0 ✗

ב-x = -2:
מכנה: 4 + 6 - 10 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 0 - 10 = -10 ✓
f(0) = 0/(-10) = 0

ב-x = 1:
מכנה: 1 - 3 - 10 = -12 ✓
f(1) = 1/(-12) = -1/12

טבלה 📊

תשובה: x ≠ 5, x ≠ -2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי - רק המכנה חשוב! 🔍
מונה: x² + 5x + 6 (לא משנה)
מכנה: x² - 9 (זה מה שחשוב!)

שלב 2: פירוק המכנה 📐
x² - 9 = x² - 3²
= (x - 3)(x + 3)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
(x - 3)(x + 3) = 0

• x - 3 = 0 → x = 3
• x + 3 = 0 → x = -3

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 3, x \neq -3\)

שלב 5: פירוק המונה (סתם מעניין) 💭
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

המונה מתאפס ב-x = -2 וב-x = -3
אבל זה לא משנה לתחום ההגדרה!

שלב 6: הערה חשובה ⚠️
ב-x = -3 גם המונה וגם המכנה מתאפסים!
זה נקרא "חור" בגרף,
אבל עדיין x = -3 לא בתחום ההגדרה!

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
מכנה: 9 - 9 = 0 ✗

ב-x = -3:
מכנה: 9 - 9 = 0 ✗
(גם המונה = 0, אבל עדיין לא מוגדר!)

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 9 = -9 ✓
f(0) = 6/(-9) = -2/3

ב-x = -2:
מכנה: 4 - 9 = -5 ✓
f(-2) = 0/(-5) = 0

טבלה 📊

תשובה: x ≠ 3, x ≠ -3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x³ - x

שלב 2: הוצאת גורם משותף 📐
x³ - x = x(x² - 1)

שלב 3: פירוק נוסף ✍️
x² - 1 = (x - 1)(x + 1)

לכן:
x³ - x = x(x - 1)(x + 1)

שלב 4: איפוס המכנה 🔢
x(x - 1)(x + 1) = 0

מכפלה = 0 כאשר אחד הגורמים = 0:
• x = 0
• x - 1 = 0 → x = 1
• x + 1 = 0 → x = -1

שלב 5: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq 0, x \neq 1, x \neq -1\)

שלוש נקודות אסורות!

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
מכנה: 0 - 0 = 0 ✗

ב-x = 1:
מכנה: 1 - 1 = 0 ✗

ב-x = -1:
מכנה: -1 - (-1) = 0 ✗

ב-x = 2:
מכנה: 8 - 2 = 6 ✓
f(2) = 1/6

ב-x = -2:
מכנה: -8 - (-2) = -6 ✓
f(-2) = 1/(-6) = -1/6

טבלה 📊

טעות נפוצה ❌
לשכוח את x = 0!
אנשים רואים x³ - x ופותרים רק x² - 1 = 0

תשובה: x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ -1

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 8x + 16

שלב 2: זיהוי ריבוע מושלם 📐
בואו נבדוק אם זה (x - 4)²:

(x - 4)² = x² - 2·4·x + 4²
= x² - 8x + 16 ✓

כן! זה ריבוע מושלם!

שלב 3: כתיבה מחדש ✍️
x² - 8x + 16 = (x - 4)²

שלב 4: איפוס המכנה 🔢
(x - 4)² = 0
x - 4 = 0
x = 4

שלב 5: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq 4\)

רק נקודה אחת! למרות שהמכנה ממעלה שנייה

שלב 6: הערה מעניינת 💭
גם המונה מתאפס ב-x = 4!
זה מקרה מיוחד של "חור",
אבל עדיין x = 4 לא בתחום!

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 4:
מכנה: 16 - 32 + 16 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 0 + 16 = 16 ✓
f(0) = -4/16 = -1/4

ב-x = 3:
מכנה: 9 - 24 + 16 = 1 ✓
f(3) = -1/1 = -1

ב-x = 5:
מכנה: 25 - 40 + 16 = 1 ✓
f(5) = 1/1 = 1

טבלה 📊

תשובה: x ≠ 4

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: 4x² - 1

שלב 2: זיהוי הפרש ריבועים 📐
4x² - 1 = (2x)² - 1²
= (2x - 1)(2x + 1)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
(2x - 1)(2x + 1) = 0

• 2x - 1 = 0 → 2x = 1 → x = 1/2
• 2x + 1 = 0 → 2x = -1 → x = -1/2

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq \frac{1}{2}, x \neq -\frac{1}{2}\)

שלב 5: הערה על המונה 💭
המונה x² מתאפס ב-x = 0
אבל x = 0 מוגדר!

בדיקה:
מכנה ב-x = 0: 4(0) - 1 = -1 ≠ 0 ✓

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 1/2:
מכנה: 4(1/4) - 1 = 1 - 1 = 0 ✗

ב-x = -1/2:
מכנה: 4(1/4) - 1 = 1 - 1 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 1 = -1 ✓
f(0) = 0/(-1) = 0

ב-x = 1:
מכנה: 4 - 1 = 3 ✓
f(1) = 1/3

טבלה 📊

תשובה: x ≠ 1/2, x ≠ -1/2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² + 4x + 4

שלב 2: זיהוי ריבוע מושלם 📐
בואו נבדוק: (x + 2)²

(x + 2)² = x² + 2·2·x + 2²
= x² + 4x + 4 ✓

כן!

שלב 3: כתיבה מחדש ✍️
x² + 4x + 4 = (x + 2)²

שלב 4: איפוס המכנה 🔢
(x + 2)² = 0
x + 2 = 0
x = -2

שלב 5: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq -2\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -2:
מכנה: 4 - 8 + 4 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 + 0 + 4 = 4 ✓
f(0) = 1/4

ב-x = -1:
מכנה: 1 - 4 + 4 = 1 ✓
f(-1) = 1/1 = 1

ב-x = -3:
מכנה: 9 - 12 + 4 = 1 ✓
f(-3) = 1/1 = 1

טבלה 📊

תשובה: x ≠ -2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 49

שלב 2: פירוק הפרש ריבועים 📐
x² - 49 = x² - 7²
= (x - 7)(x + 7)

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
(x - 7)(x + 7) = 0

• x - 7 = 0 → x = 7
• x + 7 = 0 → x = -7

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 7, x \neq -7\)

שלב 5: הערה מעניינת 💭
המונה: x + 7
מתאפס ב-x = -7

ב-x = -7 גם המונה וגם המכנה = 0
זה "חור", אבל עדיין לא בתחום!

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 7:
מכנה: 49 - 49 = 0 ✗

ב-x = -7:
מכנה: 49 - 49 = 0 ✗
(גם המונה = 0)

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 49 = -49 ✓
f(0) = 7/(-49) = -1/7

ב-x = 8:
מכנה: 64 - 49 = 15 ✓
f(8) = 15/15 = 1

טבלה 📊

תשובה: x ≠ 7, x ≠ -7

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x³ + 8

שלב 2: זיהוי סכום קוביות 📐
x³ + 8 = x³ + 2³

זהו סכום קוביות!
נוסחה: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

שלב 3: פירוק 🔢
x³ + 8 = (x + 2)(x² - 2x + 4)

שלב 4: איפוס המכנה ✍️
(x + 2)(x² - 2x + 4) = 0

גורם ראשון:
x + 2 = 0 → x = -2

גורם שני:
x² - 2x + 4 = 0
נחשב דיסקרימיננטה:
Δ = 4 - 16 = -12 < 0

אין פתרון ממשי!

שלב 5: תחום ההגדרה 📝
\(x \neq -2\)

רק נקודה אחת אסורה!

שלב 6: למה x² - 2x + 4 לא מתאפס? 💭
x² - 2x + 4 = (x - 1)² + 3
≥ 3 > 0

תמיד חיובי!

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -2:
מכנה: -8 + 8 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 + 8 = 8 ✓
f(0) = -5/8

ב-x = 1:
מכנה: 1 + 8 = 9 ✓
f(1) = -3/9 = -1/3

ב-x = 2:
מכנה: 8 + 8 = 16 ✓
f(2) = 3/16

טבלה 📊

תשובה: x ≠ -2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי - רק המכנה! 🔍
מונה: x² + 10x + 25
מכנה: x + 5

שלב 2: איפוס המכנה 📐
x + 5 = 0
x = -5

שלב 3: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq -5\)

שלב 4: סקרנות - המונה 💭
x² + 10x + 25 = (x + 5)²

גם המונה מתאפס ב-x = -5!
ניתן לצמצם:
\(\frac{(x+5)^2}{x+5} = x+5\) (כאשר x ≠ -5)

אבל x = -5 עדיין לא בתחום!

שלב 5: למה x = -5 לא בתחום? ⚠️
כי בפונקציה המקורית,
המכנה = 0 ב-x = -5

גם אם אפשר לצמצם,
הפונקציה המקורית לא מוגדרת שם!

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -5:
מכנה: -5 + 5 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 + 5 = 5 ✓
f(0) = 25/5 = 5

ב-x = -4:
מכנה: -4 + 5 = 1 ✓
f(-4) = 1/1 = 1

ב-x = -6:
מכנה: -6 + 5 = -1 ✓
f(-6) = 1/(-1) = -1

טבלה 📊

תשובה: x ≠ -5

💡 הסבר מפורט - השאלה המסכמת:

שלב 1: זיהוי המכנה 🔍
מכנה: x² - 2x + 1

שלב 2: זיהוי ריבוע מושלם 📐
x² - 2x + 1 = (x - 1)²

בדיקה:
(x - 1)² = x² - 2x + 1 ✓

שלב 3: איפוס המכנה 🔢
(x - 1)² = 0
x - 1 = 0
x = 1

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \neq 1\)

שלב 5: סקרנות - המונה 💭
מונה: x³ - 1
זהו הפרש קוביות!

x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)

גם המונה מתאפס ב-x = 1!

שלב 6: צמצום אפשרי 📝
\(f(x) = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)^2}\)
= \(\frac{x^2+x+1}{x-1}\) (כאשר x ≠ 1)

אבל x = 1 עדיין לא בתחום!

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 1:
מכנה: 1 - 2 + 1 = 0 ✗

ב-x = 0:
מכנה: 0 - 0 + 1 = 1 ✓
f(0) = -1/1 = -1

ב-x = 2:
מכנה: 4 - 4 + 1 = 1 ✓
מונה: 8 - 1 = 7
f(2) = 7/1 = 7

ב-x = -1:
מכנה: 1 + 2 + 1 = 4 ✓
מונה: -1 - 1 = -2
f(-1) = -2/4 = -1/2

טבלה סופית 📊

סיכום כללי 🎯
עברנו על כל הטכניקות:
✓ הפרש ריבועים
✓ סכום/הפרש קוביות
✓ ריבועים מושלמים
✓ פירוק טרינומים
✓ הוצאת גורם משותף

תמיד: רק המכנה קובע את תחום ההגדרה!

תשובה סופית: x ≠ 1