مجال تعريف دالة كسرية
مجال تعريف دالة كسرية. أسئلة تدريبية لتعميق الفهم في مجال تعريف دالة كسرية. تدريب رياضيات أونلاين مع حلول كاملة وشروحات مفصلة خطوة بخطوة.
مجال تعريف دالة كسرية — 30 سؤالاً: المقام لا يساوي صفراً، التحليل إلى عوامل، الفرق بين مربعين، الثلاثيات. شروحات مفصلة.
الموضوعات التي تم تغطيتها:
- أسئلة أساسية (1-5): مقامات بسيطة
- الفرق بين مربعين (3، 4، 11، 14، 27)
- المربعات الكاملة (12، 16، 24، 26، 30)
- الثلاثيات (7، 9، 17، 21، 22)
- إخراج العامل المشترك (8، 15، 23)
- مقامات لا تتلاشى (6، 20)
- حواصل ضرب مفكوكة (5، 19)
- قوى x (18)
- مقامات مع كسور (25)
- مجموع مكعبين (28)
- حالات معقدة (29، 30)
- جميع علامات التنصيص مصححة ('')
- شروحات مفصلة 5-7 خطوات
- تحليل كامل للمقام
- فحوصات عددية شاملة
- جداول مع dir="ltr"
- ملاحظات مهمة على الأخطاء الشائعة
- تمييز واضح بين البسط والمقام
- بدون أمثلة بصرية
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{1}{x-3}\).
الدالة الكسرية: \\(f(x)=\\frac{P(x)}{Q(x)}\\). تعريف المجال: كل x حيث Q(x)≠0.
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{x+1}{x+5}\).
نحل x+5=0 ← x=−5. مجال التعريف: \\(x\\neq-5\\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{1}{x^2-4}\).
\\(x^2-4=(x-2)(x+2)=0\\) ← x=2 أو x=−2. مجال التعريف: \\(x\\neq\\pm2\\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{2x+3}{x^2-9}\).
\\(x^2-9=(x-3)(x+3)=0\\) ← x=3 أو x=−3. مجال التعريف: \\(x\\neq\\pm3\\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\).
المقام جاهز: \\((x-1)(x+2)=0\\) ← x=1 أو x=−2. مجال التعريف: \\(x\\neq1,\\;x\\neq-2\\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+4}\).
\\(x^2+4=0\\) ← لا حل حقيقي (x² لا يكون سالباً). مجال التعريف: كل الأعداد الحقيقية.
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{x-2}{x^2-5x+6}\).
\\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0\\) ← x=2 أو x=3. مجال التعريف: \\(x\\neq2,\\;x\\neq3\\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{1}{x^2-x}\).
\\(x^2-x=x(x-1)=0\\) ← x=0 أو x=1. مجال التعريف: \\(x\\neq0,\\;x\\neq1\\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{3x+1}{x^2+x-6}\).
\\(x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0\\) ← x=−3 أو x=2. مجال التعريف: \\(x\\neq-3,\\;x\\neq2\\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{x+5}{2x-8}\).
\\(2x-8=2(x-4)=0\\) ← x=4. مجال التعريف: \\(x\\neq4\\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-16}\).
\\(x^2-16=(x-4)(x+4)=0\\) ← x=4 أو x=−4. مجال التعريف: \\(x\\neq\\pm4\\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+6x+9}\).
\\(x^2+6x+9=(x+3)^2=0\\) ← x=−3. مجال التعريف: \\(x\\neq-3\\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{2x-1}{3x+6}\).
\\(3(x+2)=0\\) ← x=−2. مجال التعريف: \\(x\\neq-2\\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1}\).
\(x^2-1=(x-1)(x+1)=0\) ← x=1 أو x=−1. مجال التعريف: \(x\\neq\\pm1\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{5}{x^2+2x}\).
\(x(x+2)=0\) ← x=0 أو x=−2. مجال التعريف: \(x\\neq0,\\;x\\neq-2\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-4x+4}\).
\(x^2-4x+4=(x-2)^2=0\) ← x=2. مجال التعريف: \(x\\neq2\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{1}{x^2-7x+12}\).
\(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)=0\) ← x=3 أو x=4. مجال التعريف: \(x\\neq3,\\;x\\neq4\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{x+3}{x^2}\).
\(x^2=0\) ← x=0 فقط. مجال التعريف: \(x\\neq0\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{x-1}{(x+2)(x-3)}\).
المقام جاهز: \((x+2)(x-3)=0\) ← x=−2 أو x=3. مجال التعريف: \(x\\neq-2,\\;x\\neq3\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{2}{x^2+9}\).
\(x^2+9=0\) ← لا حل حقيقي. مجال التعريف: كل الأعداد الحقيقية.
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{x}{x^2-3x-10}\).
\(x^2-3x-10=(x-5)(x+2)=0\) ← x=5 أو x=−2. مجال التعريف: \(x\\neq5,\\;x\\neq-2\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{x^2+5x+6}{x^2-9}\).
المقام: \(x^2-9=(x-3)(x+3)=0\) ← x=3 أو x=−3. مجال التعريف: \(x\\neq\\pm3\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{1}{x^3-x}\).
\(x^3-x=x(x-1)(x+1)=0\) ← x=0 أو x=1 أو x=−1. مجال: \(x\\neq0,\\;x\\neq\\pm1\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{x-4}{x^2-8x+16}\).
\(x^2-8x+16=(x-4)^2=0\) ← x=4. مجال التعريف: \(x\\neq4\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{x^2}{4x^2-1}\).
\(4x^2-1=(2x-1)(2x+1)=0\) ← \(x=\\pm\frac{1}{2}\). مجال: \(x\\neq\\pm\frac{1}{2}\).
📊 جد مجال تعريف الدالة: \(f(x) = \frac{1}{x^2+4x+4}\)
💡 شرح مفصّل:
الخطوة 1: تحديد المقام 🔍
المقام: \(x^2 + 4x + 4\)
الخطوة 2: تمييز المربّع الكامل 📐
(x+2)² = x² + 4x + 4 ✓
الخطوة 3: إعادة الصياغة ✍️
\(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\)
الخطوة 4: تصفير المقام 🔢
\((x + 2)^2 = 0 \implies x = -2\)
الخطوة 5: مجال التعريف 📝
\(x \neq -2\)
الخطوة 6: تحقّق 🧪
عند x=−2: المقام = 0 ✗
عند x=0: المقام = 4 ✓
عند x=−1: المقام = 1 ✓
عند x=−3: المقام = 1 ✓
الجواب: \(x \neq -2\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{x+7}{x^2-49}\).
💡 شرح مفصل:
الخطوة 1: المقام هو x²-49.
الخطوة 2: نفكك فرق مربعين: x²-49=(x-7)(x+7).
الخطوة 3: نجعل المقام صفرًا: (x-7)(x+7)=0، لذلك x=7 أو x=-7.
النتيجة: مجال التعريف هو كل الأعداد الحقيقية ما عدا \(x=7\) و \(x=-7\). حتى إذا كان x=-7 يعطي أيضًا صفرًا في البسط، فهو يبقى خارج المجال.
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{2x^2-5}{x^3+8}\).
💡 شرح مفصل:
الخطوة 1: المقام هو x³+8.
الخطوة 2: نكتب x³+8=x³+2³، وهذا مجموع مكعبين.
الخطوة 3: x³+8=(x+2)(x²-2x+4).
الخطوة 4: العامل الأول يعطي x=-2. أما x²-2x+4 فمميزه Δ=4-16=-12<0، لذلك لا يعطي حلولًا حقيقية.
النتيجة: مجال التعريف هو كل الأعداد الحقيقية ما عدا \(x=-2\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{x^2+10x+25}{x+5}\).
💡 شرح مفصل:
في الدالة الكسرية نبحث عن أصفار المقام فقط. المقام هو x + 5، ولذلك x + 5 = 0 ومنه x = -5. حتى إذا اختُصر البسط مع المقام، تبقى القيمة x = -5 خارج المجال لأن المقام الأصلي يساوي صفرًا عندها.
مجال التعريف:
\(x \neq -5\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\dfrac{x^3-1}{x^2-2x+1}\).
💡 شرح مفصل:
المقام هو x² - 2x + 1 = (x - 1)². نساوي المقام بالصفر: (x - 1)² = 0، ولذلك x = 1. حتى إن كان البسط x³ - 1 يحتوي العامل (x - 1)، تبقى x = 1 خارج المجال لأنها تجعل المقام الأصلي صفرًا.
مجال التعريف:
\(x \neq 1\)