תרגול משפטים: מעגלים חוסמים ומעגלים חסומים
תרגול משפטים: מעגלים חוסמים ומעגלים חסומים. שאלות לתרגול ולהעמקת ההבנה בנושא משפטים: מעגלים חוסמים ומעגלים חסומים. תרגול מתמטיקה אונליין עם פתרונות והסברים מפורטים.
תרגול מעגלים חוסמים וחסומים - מעגל חוסם וחסום במשולש ומרובע, תנאים לחסימה, מצולעים משוכללים. הסברים מפורטים.
📐 משולש עם מעגל חסום:
במשולש ABC נתון: AB = 13 ס"מ, BC = 14 ס"מ, AC = 15 ס"מ
מצא את רדיוס המעגל החסום (עגל לשתי ספרות).
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: חישוב חצי ההיקף 📏
s = (a + b + c) / 2 s = (13 + 14 + 15) / 2 s = 21 ס"מ |
שלב 2: חישוב השטח (נוסחת הרון) 🔢
S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] S = √[21 × 8 × 7 × 6] S = √7056 = 84 ס"מ² |
שלב 3: חישוב רדיוס המעגל החסום 🎯
r = S / s r = 84 / 21 r = 4.00 ס"מ בחישוב מדויק יותר: 4.80 ס"מ |
💎 משפט חשוב:
| בכל משולש אפשר לחסום מעגל רדיוסו: r = שטח / חצי היקף |
🔺 משולש ישר זוית:
במשולש ישר זוית ABC (זווית ישרה ב-C)
נתון: AB = 10 ס"מ, AC = 6 ס"מ, BC = 8 ס"מ
מהו רדיוס המעגל החסום?
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: נוסחה מיוחדת למשולש ישר זוית ⚡
במשולש ישר זוית: r = (a + b - c) / 2 כאשר c = היתר |
שלב 2: הצבה בנוסחה 🔢
r = (6 + 8 - 10) / 2 r = 4 / 2 r = 2 ס"מ |
שלב 3: אימות בנוסחה הכללית ✓
שטח: S = (6 × 8) / 2 = 24 ס"מ² חצי היקף: s = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 ס"מ r = S / s = 24 / 12 = 2 ס"מ ✓ |
תשובה: 2 ס"מ
⭐ משולש שווה צלעות:
משולש שווה צלעות שאורך צלעו 12 ס"מ
מצא את רדיוס המעגל החסום (עגל לספרה אחת).
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: נוסחה למשולש שווה צלעות 🔺
במשולש שווה צלעות: r = a√3 / 6 |
שלב 2: הצבה בנוסחה 🔢
r = 12√3 / 6 r = 2√3 r ≈ 2 × 1.732 r ≈ 3.46 ס"מ עיגול: 3.5 ס"מ |
שלב 3: אימות דרך השטח ✓
S = a²√3 / 4 = 144√3 / 4 = 36√3 ס"מ² s = 3 × 12 / 2 = 18 ס"מ r = 36√3 / 18 = 2√3 ≈ 3.5 ס"מ ✓ |
תשובה: 3.5 ס"מ
📊 נתוני משולש:
נתון משולש ABC ששטחו 60 ס"מ² והיקפו 40 ס"מ
מהו רדיוס המעגל החסום?
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: מה נתון? 📝
✓ שטח המשולש: S = 60 ס"מ² ✓ היקף המשולש: P = 40 ס"מ |
שלב 2: חישוב חצי ההיקף 📏
s = היקף / 2 s = 40 / 2 s = 20 ס"מ |
שלב 3: נוסחת המעגל החסום 🎯
r = S / s r = 60 / 20 r = 3 ס"מ |
💎 משפט:
| רדיוס המעגל החסום = שטח ÷ חצי היקף |
🔻 משולש שווה שוקיים:
משולש ABC שווה שוקיים: AB = AC = 10 ס"מ, BC = 12 ס"מ
מצא את רדיוס המעגל החסום (עגל לספרה אחת).
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: חישוב הגובה 📐
הגובה יורד מ-A לבסיס BC הוא חוצה את BC לשני חלקים: 6 ס"מ כל אחד לפי פיתגורס: h = √(10² - 6²) h = √(100 - 36) h = √64 h = 8 ס"מ |
שלב 2: חישוב השטח 🔢
S = (בסיס × גובה) / 2 S = (12 × 8) / 2 S = 48 ס"מ² |
שלב 3: חישוב הרדיוס 🎯
חצי היקף: s = (10 + 10 + 12) / 2 = 16 ס"מ r = S / s = 48 / 16 r = 3.0 ס"מ |
תשובה: 3.0 ס"מ
⭕ משולש חסום במעגל:
משולש ABC חסום במעגל שרדיוסו 5 ס"מ
זווית A = 30°
מצא את אורך הצלע BC.
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: משפט הסינוסים במעגל חוסם 📐
משפט הסינוסים: a = 2R · sin(A) כאשר: a = הצלע שמול זווית A R = רדיוס המעגל החוסם |
שלב 2: הצבת הנתונים 🔢
נתון: R = 5 ס"מ, זווית A = 30° BC = 2 · 5 · sin(30°) BC = 10 · 0.5 BC = 5 ס"מ |
שלב 3: הסבר 💭
🔹 sin(30°) = 0.5 🔹 הצלע BC נמצאת מול זווית A 🔹 ככל שהזווית קטנה יותר, הצלע שמולה קטנה יותר |
💎 משפט:
| כל משולש ניתן לחסום במעגל |
📐 משולש ישר זוית חסום במעגל:
במשולש ישר זוית ABC (זווית ישרה ב-C)
נתון: AB = 10 ס"מ
מהו רדיוס המעגל החוסם?
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: משפט חשוב! 🎯
זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90°) |
שלב 2: המסקנה 💭
אם זווית C = 90° אזי הצלע AB (שמולה) היא קוטר המעגל במשולש ישר זוית: היתר = קוטר המעגל החוסם |
שלב 3: חישוב הרדיוס 🔢
נתון: AB (היתר) = 10 ס"מ קוטר המעגל = 10 ס"מ R = קוטר / 2 R = 10 / 2 R = 5 ס"מ |
תשובה: 5 ס"מ
⭐ משולש שווה צלעות חסום במעגל:
משולש שווה צלעות ABC חסום במעגל שרדיוסו 6 ס"מ
מצא את אורך צלע המשולש (עגל לספרה אחת).
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: נוסחה למשולש שווה צלעות 🔺
במשולש שווה צלעות החסום במעגל: a = R√3 |
שלב 2: הצבה בנוסחה 🔢
נתון: R = 6 ס"מ a = 6√3 a ≈ 6 × 1.732 a ≈ 10.39 ס"מ עיגול: 10.4 ס"מ |
שלב 3: אימות עם משפט הסינוסים ✓
a = 2R · sin(60°) a = 2 · 6 · (√3/2) a = 6√3 ≈ 10.4 ס"מ ✓ |
תשובה: 10.4 ס"מ
🔷 משולש חסום - זווית 45°:
משולש ABC חסום במעגל
נתון: BC = 8 ס"מ, זווית A = 45°
מצא את רדיוס המעגל (עגל לספרה אחת).
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: משפט הסינוסים 📐
משפט הסינוסים: BC / sin(A) = 2R |
שלב 2: הצבת נתונים 🔢
BC = 8 ס"מ זווית A = 45° 8 / sin(45°) = 2R sin(45°) = √2 / 2 ≈ 0.707 8 / 0.707 = 2R 11.31 = 2R |
שלב 3: חישוב הרדיוס 🎯
R = 11.31 / 2 R ≈ 5.66 ס"מ עיגול: 5.7 ס"מ |
דרך נוספת:
R = BC / (2·sin(A)) R = 8 / (2·0.707) R = 8 / 1.414 R = 4√2 ≈ 5.7 ס"מ |
⭕ זווית ישרה על קוטר:
משולש ABC חסום במעגל שרדיוסו R = 7 ס"מ
זווית A = 90° (זווית ישרה)
מהו אורך הצלע BC?
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: משפט הזווית הישרה 📐
זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל-90° ⬇️ אם זווית A = 90° אזי BC = קוטר |
שלב 2: הקשר בין רדיוס לקוטר 🔢
קוטר = 2 × רדיוס d = 2R |
שלב 3: חישוב 🎯
נתון: R = 7 ס"מ קוטר = 2 × 7 קוטר = 14 ס"מ לכן: BC = 14 ס"מ |
💎 זכור:
| במשולש ישר זוית החסום במעגל: היתר = קוטר המעגל |
🔷 מרובע חסום במעגל:
מרובע ABCD חסום במעגל
נתון: ∠A = 75°, ∠B = 110°, ∠C = 105°
מצא את גודל הזווית ∠D.
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: משפט זוויות נגדיות 📐
במרובע חסום במעגל: סכום זוויות נגדיות = 180° ∠A + ∠C = 180° ∠B + ∠D = 180° |
שלב 2: בדיקת זוויות A ו-C ✓
∠A + ∠C = 75° + 105° = 180° ✓ הזוויות A ו-C אכן נגדיות! |
שלב 3: חישוב זווית D 🎯
∠B + ∠D = 180° 110° + ∠D = 180° ∠D = 180° - 110° ∠D = 70° |
💎 זכור:
| זוויות נגדיות במרובע חסום = 180° |
❓ בדיקת תנאי חסימה במעגל:
האם ניתן לחסום את המרובע הבא במעגל?
מרובע ABCD עם זוויות:
∠A = 80°, ∠B = 95°, ∠C = 100°, ∠D = 85°
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: התנאי לחסימה במעגל 📋
תנאי: מרובע ניתן לחסום במעגל ⬇️ סכום זוויות נגדיות = 180° |
שלב 2: בדיקת זוג ראשון (A ו-C) 🔍
∠A + ∠C = ? 80° + 100° = 180° ✓ הזוג הראשון מקיים! |
שלב 3: בדיקת זוג שני (B ו-D) 🔍
∠B + ∠D = ? 95° + 85° = 180° ✓ גם הזוג השני מקיים! |
שלב 4: מסקנה 🎯
שני זוגות הזוויות הנגדיות מסתכמים ל-180° ⬇️ כן, ניתן לחסום במעגל! |
🔶 טרפז חסום במעגל:
טרפז ABCD חסום במעגל
(AB מקביל ל-CD)
איזה מהמשפטים הבאים נכון?
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: תנאי מרובע חסום 📐
במרובע חסום במעגל: ∠A + ∠C = 180° ∠B + ∠D = 180° |
שלב 2: תכונות טרפז 📏
בטרפז (AB ∥ CD): זוויות פנימיות בצד אחד: ∠A + ∠D = 180° זוויות פנימיות בצד שני: ∠B + ∠C = 180° |
שלב 3: שילוב התנאים 🔍
מתנאי החסימה: ∠A + ∠C = 180° מתכונת הטרפז: ∠A + ∠D = 180° ⬇️ ∠C = ∠D באופן דומה: ∠A = ∠B |
שלב 4: המסקנה 🎯
זוויות הבסיס שוות ⬇️ טרפז שווה שוקיים! |
💎 משפט:
| טרפז שחסום במעגל הוא בהכרח שווה שוקיים |
🔢 מציאת ערך משתנה:
מרובע ABCD חסום במעגל
נתון: ∠A = (2x + 10)°, ∠C = (3x - 20)°
מצא את ערך x.
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: כתיבת המשוואה 📝
זוויות A ו-C נגדיות ⬇️ ∠A + ∠C = 180° (2x + 10) + (3x - 20) = 180 |
שלב 2: פתיחת סוגריים 🔢
2x + 10 + 3x - 20 = 180 5x - 10 = 180 |
שלב 3: פתרון המשוואה ⚡
5x - 10 = 180 5x = 180 + 10 5x = 190 x = 190 ÷ 5 x = 38 |
שלב 4: בדיקה ✓
∠A = 2(38) + 10 = 76 + 10 = 86° ∠C = 3(38) - 20 = 114 - 20 = 94° סכום: 86° + 94° = 180° ✓ |
📏 מרובע חוסם מעגל:
מרובע ABCD חוסם מעגל
נתון: AB = 5 ס"מ, BC = 7 ס"מ, CD = 6 ס"מ
מצא את אורך הצלע DA.
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: משפט סכום צלעות נגדיות 📐
|
במרובע שחוסם מעגל:
סכום צלעות נגדיות שווה AB + CD = BC + DA |
שלב 2: זיהוי הצלעות הנגדיות 🔍
|
📌 AB נגדית ל-CD
📌 BC נגדית ל-DA לכן: AB + CD = BC + DA |
שלב 3: הצבת נתונים 🔢
|
AB + CD = BC + DA
5 + 6 = 7 + DA 11 = 7 + DA |
שלב 4: פתרון 🎯
|
DA = 11 - 7
DA = 4 ס"מ |
💎 זכור:
| במרובע חוסם מעגל: סכום צלעות נגדיות שווה |
❓ בדיקת תנאי חסימת מעגל:
האם המרובע הבא חוסם מעגל?
מרובע ABCD עם צלעות:
AB = 8 ס"מ, BC = 6 ס"מ, CD = 10 ס"מ, DA = 4 ס"מ
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: התנאי לחסימת מעגל 📋
תנאי: מרובע חוסם מעגל ⬇️ סכום צלעות נגדיות שווה |
שלב 2: חישוב סכום הצלעות הנגדיות 🔢
זוג ראשון: AB + CD = 8 + 10 = 18 ס"מ זוג שני: BC + DA = 6 + 4 = 10 ס"מ |
שלב 3: השוואה 🔍
18 ≠ 10 הסכומים לא שווים! |
שלב 4: מסקנה 🎯
התנאי לא מתקיים ⬇️ לא, המרובע לא חוסם מעגל |
🔢 מציאת ערך משתנה - מרובע חוסם:
מרובע ABCD חוסם מעגל
נתון: AB = 2x, BC = x + 3, CD = 2x - 2, DA = x + 1
מצא את ערך x.
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: כתיבת המשוואה 📝
מרובע חוסם מעגל: AB + CD = BC + DA 2x + (2x - 2) = (x + 3) + (x + 1) |
שלב 2: פישוט שני האגפים 🔢
אגף שמאל: 2x + 2x - 2 = 4x - 2 אגף ימין: x + 3 + x + 1 = 2x + 4 |
שלב 3: פתרון המשוואה ⚡
4x - 2 = 2x + 4 4x - 2x = 4 + 2 2x = 6 x = 3 |
שלב 4: בדיקה ✓
AB = 2(3) = 6, CD = 2(3) - 2 = 4 → סכום = 10 ס"מ BC = 3 + 3 = 6, DA = 3 + 1 = 4 → סכום = 10 ס"מ 10 = 10 ✓ |
⬡ משושה משוכלל חסום במעגל:
משושה משוכלל שאורך צלעו 6 ס"מ חסום במעגל
מהו רדיוס המעגל החוסם?
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: תכונה מיוחדת של משושה משוכלל ⬡
במשושה משוכלל: רדיוס המעגל החוסם = אורך הצלע R = a |
שלב 2: הסבר 💭
🔹 משושה משוכלל מורכב מ-6 משולשים שווי צלעות 🔹 כל משולש שווה צלעות יש לו צלע = רדיוס 🔹 לכן: צלע המשושה = רדיוס המעגל |
שלב 3: התשובה 🎯
נתון: אורך הצלע = 6 ס"מ ⬇️ R = 6 ס"מ |
💎 זכור:
| במשושה משוכלל: R = צלע |
◼️ ריבוע חסום במעגל:
ריבוע ABCD חסום במעגל שרדיוסו 5 ס"מ
מצא את אורך צלע הריבוע (עגל לספרה אחת).
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: קשר בין רדיוס לאלכסון 📐
בריבוע חסום במעגל: האלכסון = קוטר המעגל d = 2R |
שלב 2: חישוב הקוטר 🔢
נתון: R = 5 ס"מ קוטר = 2 × 5 d = 10 ס"מ |
שלב 3: קשר בין צלע לאלכסון 📏
בריבוע: אלכסון = צלע × √2 d = a√2 |
שלב 4: חישוב הצלע 🎯
a√2 = 10 a = 10 / √2 a = 10√2 / 2 a = 5√2 a ≈ 5 × 1.414 a ≈ 7.07 ס"מ עיגול: 7.1 ס"מ |
⭐ יחס בין מעגלים:
במשולש שווה צלעות שאורך צלעו 12 ס"מ
מהו היחס בין רדיוס המעגל החוסם
לרדיוס המעגל החסום?
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: נוסחאות במשולש שווה צלעות 📐
רדיוס המעגל החוסם: R = a√3 / 3 = a / √3 רדיוס המעגל החסום: r = a√3 / 6 = a / (2√3) |
שלב 2: חישוב היחס R / r 🔢
R / r = (a / √3) ÷ (a / 2√3) R / r = (a / √3) × (2√3 / a) R / r = 2√3 / √3 R / r = 2 |
שלב 3: כתיבת היחס 🎯
R / r = 2 ⬇️ R : r = 2 : 1 |
💎 תובנה:
במשולש שווה צלעות: 🔹 רדיוס המעגל החוסם תמיד גדול פי 2 🔹 מרדיוס המעגל החסום 🔹 זה נכון לכל משולש שווה צלעות! |
❓ מספר מעגלים דרך נקודה אחת:
כמה מעגלים עוברים דרך נקודה אחת?
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: הגדרת מעגל ⭕
מעגל = מקום גאומטרי של נקודות במרחק קבוע (r) ממרכז נתון (O) |
שלב 2: מעגלים דרך נקודה אחת 🔍
🔹 ניתן לבחור כל מרכז במרחק r מהנקודה 🔹 ניתן לבחור כל רדיוס r 🔹 יש אינסוף אפשרויות למרכז 🔹 יש אינסוף אפשרויות לרדיוס |
שלב 3: המסקנה 🎯
אינסוף מעגלים! כל מעגל שעובר דרך הנקודה הוא מעגל חוקי |
💭 השוואה:
| נקודות | מעגלים |
|---|---|
| 1 נקודה | אינסוף |
| 2 נקודות | אינסוף |
| 3 נקודות (לא על ישר) | 1 יחיד |
🔵 מעגלים דרך שתי נקודות:
כמה מעגלים עוברים דרך שתי נקודות A ו-B?
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: תנאי למרכז המעגל 📐
מרכז מעגל שעובר דרך A ו-B ⬇️ חייב להיות שווה-מרחק מ-A ומ-B |
שלב 2: מקום גאומטרי 🔍
🔹 כל הנקודות השווות-מרחק מ-A ומ-B 🔹 נמצאות על האנך האמצעי למקטע AB 🔹 האנך האמצעי מכיל אינסוף נקודות |
שלב 3: בניית מעגלים ⭕
לכל נקודה על האנך האמצעי ⬇️ ניתן לבנות מעגל שעובר דרך A ו-B ⬇️ אינסוף מעגלים! |
❌ שלוש נקודות על ישר:
נתונות שלוש נקודות על ישר אחד
כמה מעגלים עוברים דרך שלוש הנקודות?
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: למה לא אפשרי? 🤔
מעגל = קו עקום (לא יכול להכיל קטע ישר) |
שלב 2: ניסיון למצוא מרכז 🔍
🔹 מרכז צריך להיות שווה-מרחק מ-A, B, C 🔹 אם A, B, C על ישר אחד 🔹 אי אפשר למצוא נקודה שווה-מרחק 🔹 (המרחקים יהיו תמיד שונים) |
שלב 3: המסקנה 🎯
אפס מעגלים! אין אף מעגל שעובר דרך 3 נקודות על ישר אחד |
💎 זכור:
| התנאי: 3 נקודות שאינן על ישר אחד |
📍 מציאת מרכז המעגל:
נתונות שלוש נקודות A, B, C שאינן על ישר אחד
איך מוצאים את מרכז המעגל העובר דרכן?
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: תכונת המרכז 📐
מרכז המעגל (O) ⬇️ חייב להיות שווה-מרחק מ-A, B, ו-C OA = OB = OC = R |
שלב 2: מקום גאומטרי 🔍
🔹 נקודות שווות-מרחק מ-A ומ-B → על האנך האמצעי ל-AB 🔹 נקודות שווות-מרחק מ-B ומ-C → על האנך האמצעי ל-BC 🔹 המרכז O נמצא על שני האנכים |
שלב 3: מציאת המרכז 🎯
נקודת החיתוך של האנכים האמצעיים ⬇️ היא מרכז המעגל! |
💎 עובדה:
| שלושת האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת! |
✨ המשפט העיקרי:
דרך כמה נקודות שאינן על ישר אחד
עובר מעגל אחד ויחיד?
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: המשפט המרכזי 📚
דרך שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד |
שלב 2: למה דווקא 3? 🤔
🔹 1 נקודה: אינסוף מעגלים (כל רדיוס) 🔹 2 נקודות: אינסוף מעגלים (כל מרכז על אנך אמצעי) 🔹 3 נקודות (לא על ישר): מעגל יחיד! 🔹 3 נקודות (על ישר): אין מעגל |
שלב 3: למה "יחיד"? 🎯
3 נקודות מגדירות: ✓ מרכז יחיד (חיתוך אנכים אמצעיים) ✓ רדיוס יחיד (מהמרכז לנקודות) ⬇️ מעגל אחד בלבד! |
💎 סיכום:
| נקודות | מעגלים |
|---|---|
| 1 נקודה | אינסוף |
| 2 נקודות | אינסוף |
| 3 נקודות (לא על ישר) | אחד יחיד! |
| 3 נקודות (על ישר) | אפס |