תרגול משפט דמיון צ.ז.צ. (צלע-זווית-צלע) 2
תרגול משפט דמיון צ.ז.צ. (צלע-זווית-צלע) 2. שאלות לתרגול ולהעמקת ההבנה בנושא משפט דמיון צ.ז.צ. (צלע-זווית-צלע) 2. תרגול מתמטיקה אונליין עם פתרונות והסברים מפורטים.
תרגול דמיון צ.ז.צ. חלק 2 - תרגול מתקדם במשפט דמיון צלע-זווית-צלע. בעיות מורכבות עם פתרונות מלאים.
📐 משפט הדמיון צ.ז.צ.:
שני משולשים דומים אם:
- יש להם זווית אחת שווה
- ושתי הצלעות היוצרות את הזווית נמצאות ביחס קבוע
איזה מהבאים מתאר נכון את משפט הדמיון צ.ז.צ.?
שלב 1 – מה אומר המשפט?
צ.ז.צ. = צלע–זווית–צלע.
במשפט הדמיון צ.ז.צ. אנחנו צריכים:
- זווית אחת שווה בין המשולשים
- דווקא שתי הצלעות היוצרות את הזווית הזו נמצאות ביחס קבוע
לכן התשובה הנכונה:
זווית אחת שווה ושתי הצלעות היוצרות אותה זווית ביחס קבוע.
במשולש ABC ובמשולש A'B'C' מתקיים:
- ∠A = ∠A'
- AB = 4 ס"מ, AC = 6 ס"מ
- A'B' = 6 ס"מ, A'C' = 9 ס"מ
האם המשולשים דומים לפי צ.ז.צ.?
בדיקת צ.ז.צ.:
- הזווית A שווה לזווית A'' – זה תנאי ראשון.
- נבדוק יחס צלעות היוצרות את הזווית A:
AB:AC = 4:6 = 2:3
A''B'':A''C'' = 6:9 = 2:3
היחס שווה בשני המשולשים, לכן שני התנאים מתקיימים: זווית אחת שווה + שתי הצלעות היוצרות אותה זווית ביחס קבוע → המשולשים דומים לפי צ.ז.צ.
במשולשים ABC ו-A'B'C' מתקיים:
- ∠A = ∠A'
- AB = 5 ס"מ, AC = 7 ס"מ
- A'B' = 10 ס"מ, A'C' = 15 ס"מ
סמן את המשפט הנכון ביותר לגבי דמיון לפי צ.ז.צ.:
נבדוק יחס צלעות היוצרות את הזווית:
AB:AC = 5:7
A''B'':A''C'' = 10:15 = 2:3
היחסים לא שווים (5:7 ≠ 2:3), ולכן תנאי צ.ז.צ. לא מתקיים — גם אם הזווית שווה.
כלומר ההסבר הנכון:
המשולשים אינם דומים לפי צ.ז.צ. כי יחס 5:7 שונה מ-10:15.
במשולש קטן מתקיים: AB = 3 ס"מ, AC = 5 ס"מ.
במשולש גדול דומה לו לפי צ.ז.צ. מתקיים: A'B' = 9 ס"מ, ∠A = ∠A'.
מהו יחס הדמיון (קטן:גדול)?
הצלע AB במשלוש הקטן מתאימה ל-A''B'' במשלוש הגדול.
AB = 3, A''B'' = 9 → יחס קטן:גדול = 3:9 = 1:3.
לכן יחס הדמיון (קטן:גדול) הוא 1:3.
במשולש ABC ובמשולש A'B'C' ידוע שהם דומים לפי צ.ז.צ.
נתון:
- AB = 4 ס"מ, AC = 6 ס"מ
- A'B' = 10 ס"מ
- ∠A = ∠A'
מצא את A'C'.
נחשב יחס הדמיון לפי הצלעות היוצרות את הזווית:
יחס גדול:קטן = A''B'':AB = 10:4 = 2.5
AC במשלוש הקטן היא 6, לכן במשלוש הגדול:
A''C'' = 6 · 2.5 = 15.
מכאן: A'C' = 15 ס"מ.
המשולשים דומים לפי צ.ז.צ. ונתון:
- ∠A = ∠A'
- AB מתאימה ל-A'B'
- AC מתאימה ל-A'C'
איזה זוג צלעות חייב להיות ביחס קבוע כדי להוכיח דמיון לפי צ.ז.צ.?
בצ.ז.צ. חשוב שדווקא הצלעות היוצרות את הזווית יהיו ביחס קבוע.
אם הזווית היא ∠A (בין AB ל-AC), אז חייב להיות יחס קבוע בין:
AB ↔ A''B'' ובין AC ↔ A''C''.
בציור שלפניך מסומנים שני משולשים עם זווית משותפת ב-A.
על פי הנתונים, האם המשולשים דומים לפי צ.ז.צ.?
נתון: הזווית ב-A משותפת לשני המשולשים.
נבדוק יחס צלעות היוצרות את הזווית:
6:8 = 3:4
12:16 = 3:4
היחסים שווים → מתקיימים תנאי צ.ז.צ. → המשולשים דומים.
שני משולשים דומים לפי צ.ז.צ. יחס הדמיון (קטן:גדול) הוא 2:5.
במשולש הקטן הצלע המתאימה היא 6 ס"מ.
מה אורך הצלע המתאימה במשלוש הגדול?
יחס קטן:גדול = 2:5.
אם 2 ← 6 ס"מ, אז כופלים ב-3:
6 ÷ 2 = 3 → 5 · 3 = 15.
לכן הצלע במשלוש הגדול היא 15 ס"מ.
תלמיד טוען:
"אם יש זווית אחת שווה ושתי צלעות כלשהן ביחס קבוע – אז המשולשים דומים לפי צ.ז.צ."
מה הבעיה בטענה?
בצ.ז.צ. יש דרישה מדויקת:
- זווית אחת שווה
- דווקא שתי הצלעות היוצרות את הזווית הזו ביחס קבוע
אם לוקחים שתי צלעות שלא יוצרות את הזווית – לא מובטח דמיון לפי צ.ז.צ.
לכן הבעיה בטענה: הוא לא מחייב שהצלעות יצרו את הזווית השווה.
במשולש גדול ABC נבנתה נקודה D על הצלע AC כך שהישר דרך D מקביל ל-BC וחותך את AB בנקודה E.
המשולש הקטן הוא ADE.
מדוע המשולשים ADE ו-ABC דומים לפי צ.ז.צ.?
מאחר ש-DE ∥ BC:
- ∠A משותפת לשני המשולשים.
- ∠ADE = ∠ACB (זוויות מתאימות)
- ∠AED = ∠ABC (זוויות מתאימות)
מכאן נובע יחס קבוע בין הצלעות היוצרות את הזווית ∠A (בגלל קווים מקבילים ותכונת משולשים דומים), ולכן אפשר לראות את הדמיון גם כיישום של צ.ז.צ. דרך היחסים בין הצלעות היוצרות את הזווית.
במשולש קטן ABC ובמשולש גדול A'B'C' ידוע שהם דומים לפי צ.ז.צ.
נתון: AB = 5 ס"מ, A'B' = 15 ס"מ.
מה יחס הדמיון (קטן:גדול)?
במשולש ABC: AB = 6 ס"מ, AC = 10 ס"מ.
במשולש A'B'C': A'B' = 12 ס"מ, A'C' = 20 ס"מ.
הזווית A שווה לזווית A'.
האם המשולשים דומים לפי צ.ז.צ.?
יחס זהה → דמיון צ.ז.צ.
שני משולשים דומים לפי צ.ז.צ. יחס הדמיון (קטן:גדול) הוא 2:7.
במשולש הקטן הצלע המתאימה היא 10 ס"מ.
מה אורך הצלע המתאימה במשולש הגדול?
תלמיד טוען: "אם יש זווית שווה וצלע אחת שווה – זה דמיון צ.ז.צ".
מה הבעיה בטענה?
בציור שני משולשים עם זווית משותפת ב-A.
איזו הצלע במשולש הגדול מתאימה ל-BC במשולש הקטן?
האם אפשר להסיק דמיון לפי צ.ז.צ כאשר שתי הצלעות הנתונות אינן יוצרות את הזווית השווה?
במשולש ABC: AB = 7 ס"מ, AC = 14 ס"מ.
במשולש A'B'C': A'B' = 21 ס"מ.
מהו A'C'?
AC = 14 → 14×3 = 42.
משולש אחד גדול ממשולש שני פי 4. איזו צלע תהיה גדולה פי 4?
האם יחס 5:8 יכול להתאים ליחס 15:24 בדמיון צ.ז.צ?
במשולש ABC: AB = 4 ס"מ, AC = 9 ס"מ.
במשולש A'B'C': A'B' = 12 ס"מ, A'C' = 27 ס"מ.
הזווית A = הזווית A'.
האם המשולשים דומים לפי צ.ז.צ?
יחס הדמיון גדול:קטן = 5:2.
הצלע במשולש הגדול היא 45 ס"מ.
מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?
במשולש גדול A'B' = 32 ס"מ.
במשולש קטן AB = 8 ס"מ.
הזווית A שווה.
מה יחס הדמיון (קטן:גדול)?
בחר את המקרה שבו לא ניתן להוכיח דמיון לפי צ.ז.צ.:
שני משולשים דומים לפי צ.ז.צ ויחס הדמיון 1:5.
גובה במשולש הקטן הוא 6 ס"מ.
מה הגובה במשולש הגדול?
האם שני היחסים 7:10 ו-14:20 מצביעים על דמיון לפי צ.ז.צ?