פרמטר הוא ערך מספרי המתאר את האוכלוסייה (כמו הממוצע \(\mu\) או השונות \(\sigma^2\)), בעוד אומדן (Estimator) הוא נוסחה המחושבת מן המדגם ומשמשת לניחוש הפרמטר (כמו ממוצע המדגם \(\bar{x}\)). הערך המספרי שמתקבל נקרא אומדן נקודתי.

תכונות אומדן טוב:

• חוסר הטיה (Unbiased): בממוצע על פני מדגמים רבים האומדן פוגע בפרמטר, כלומר \( E(\hat{\theta}) = \theta \). ההטיה היא \( \text{Bias} = E(\hat{\theta}) - \theta \).
• יעילות (Efficiency): בין שני אומדנים חסרי הטיה, היעיל יותר הוא בעל השונות הקטנה יותר — הוא "מתבדר" פחות סביב הפרמטר.

טעות ריבועית ממוצעת (MSE) מודדת את איכות האומדן הכוללת:

עבור אומדן חסר הטיה ההטיה אפס, ולכן \( \text{MSE}(\hat{\theta}) = \text{Var}(\hat{\theta}) \).

ממוצע המדגם הוא האומדן הנקודתי הטוב ביותר ל-\(\mu\), והוא חסר הטיה: \( E(\bar{x}) = \mu \). פיזורו נמדד בשגיאת התקן של הממוצע:

השונות חסרת ההטיה של האוכלוסייה נאמדת באמצעות שונות המדגם, עם חלוקה ב-\((n-1)\):

דוגמה 1: שגיאת התקן של הממוצע

השאלה: בקרב אוכלוסייה ידוע שסטיית התקן היא \( \sigma = 20 \). דוגמים מדגם בגודל \( n = 25 \). מהי שגיאת התקן של ממוצע המדגם?

פתרון:

1. נשתמש בנוסחה \( \text{SE}(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \).
2. נציב: \( \text{SE} = \frac{20}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} \).
3. נחשב: \( \frac{20}{5} = 4 \).
4. שים לב: ככל שהמדגם גדול יותר, שגיאת התקן קטנה — כי \(\sqrt{n}\) במכנה גדל.

תשובה: שגיאת התקן היא \( 4 \).

דוגמה 2: גודל מדגם נדרש

השאלה: רוצים שגיאת תקן של הממוצע שלא תעלה על \( 2 \). סטיית התקן של האוכלוסייה היא \( \sigma = 16 \). מהו גודל המדגם הנדרש?

פתרון:

1. נצא מהנוסחה \( \text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \) ונבודד את \(n\).
2. נבודד את השורש: \( \sqrt{n} = \frac{\sigma}{\text{SE}} = \frac{16}{2} = 8 \).
3. נעלה בריבוע: \( n = 8^2 = 64 \).
4. בדיקה: \( \frac{16}{\sqrt{64}} = \frac{16}{8} = 2 \) — בדיוק כנדרש.

תשובה: נדרש מדגם בגודל \( n = 64 \).

דוגמה 3: שונות מדגם מתצפיות

השאלה: מדגם בן ארבע תצפיות: \( 4, 7, 9, 12 \). חשב את שונות המדגם חסרת ההטיה \( s^2 \).

פתרון:

1. תחילה הממוצע: \( \bar{x} = \frac{4+7+9+12}{4} = \frac{32}{4} = 8 \).
2. סטיות מהממוצע: \( -4, -1, 1, 4 \); ריבועיהן: \( 16, 1, 1, 16 \).
3. סכום ריבועי הסטיות: \( 16 + 1 + 1 + 16 = 34 \).
4. נחלק ב-\( (n-1) = 3 \): \( s^2 = \frac{34}{3} \approx 11.33 \).

תשובה: \( s^2 = \frac{34}{3} \approx 11.33 \).

דוגמה 4: MSE של אומדן חסר הטיה

השאלה: ממוצע המדגם \( \bar{x} \) הוא אומדן חסר הטיה ל-\(\mu\). נתון \( \sigma = 12 \) ו-\( n = 9 \). מהו \( \text{MSE}(\bar{x}) \)?

פתרון:

1. מכיוון ש-\( \bar{x} \) חסר הטיה, ההטיה אפס, ולכן \( \text{MSE}(\bar{x}) = \text{Var}(\bar{x}) \).
2. שונות ממוצע המדגם היא \( \text{Var}(\bar{x}) = \frac{\sigma^2}{n} \).
3. נציב: \( \frac{12^2}{9} = \frac{144}{9} \).
4. נחשב: \( \frac{144}{9} = 16 \) (שימו לב שזה גם \( \text{SE}^2 = 4^2 \)).

תשובה: \( \text{MSE}(\bar{x}) = 16 \).

דוגמה 5: בחירת האומדן היעיל

השאלה: שני אומדנים חסרי הטיה ל-\(\theta\): לאומדן \(A\) שונות \( \text{Var}(A) = 9 \), ולאומדן \(B\) שונות \( \text{Var}(B) = 4 \). איזה אומדן עדיף?

פתרון:

1. שני האומדנים חסרי הטיה, כלומר \( E(A) = E(B) = \theta \) — אין הבדל בהטיה.
2. במצב כזה הקריטריון הוא יעילות: עדיף האומדן בעל השונות הקטנה יותר.
3. מכיוון ש-\( \text{Var}(B) = 4 \lt 9 = \text{Var}(A) \), אומדן \(B\) יעיל יותר.
4. עבור אומדנים חסרי הטיה, MSE שווה לשונות, ולכן ל-\(B\) גם MSE קטן יותר.

תשובה: אומדן \(B\) עדיף (יעיל יותר, שונות קטנה יותר).

✗ טעות נפוצה: מחשבים שונות מדגם בחלוקה ב-\(n\) במקום ב-\((n-1)\).

✓ הדרך הנכונה: חלוקה ב-\(n\) נותנת אומדן מוטה כלפי מטה (קטן מדי). האומדן חסר ההטיה לשונות האוכלוסייה משתמש ב-\((n-1)\): \( s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \).

✗ טעות נפוצה: מבלבלים בין סטיית התקן של המדגם \(s\) לבין שגיאת התקן של הממוצע \(\text{SE}\).

✓ הדרך הנכונה: \(s\) מתאר את פיזור התצפיות הבודדות, בעוד \( \text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \) מתאר את פיזור הממוצע בין מדגמים. ה-SE תמיד קטן יותר וקטן עוד עם גדילת \(n\).

✗ טעות נפוצה: שוכחים להוציא שורש מ-\(n\) ומחשבים \( \text{SE} = \frac{\sigma}{n} \).

✓ הדרך הנכונה: במכנה עומד \(\sqrt{n}\) ולא \(n\). לכן הכפלת המדגם פי \(4\) מקטינה את שגיאת התקן רק פי \(2\), כי \( \sqrt{4} = 2 \).

• אומדן חסר הטיה: \( E(\hat{\theta}) = \theta \).
• יעילות: מבין חסרי ההטיה, היעיל = בעל השונות הקטנה ביותר.
• MSE \( = \text{Var}(\hat{\theta}) + \text{Bias}^2 \); לחסר הטיה \( \text{MSE} = \text{Var} \).
• שגיאת תקן של הממוצע: \( \text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \).
• גודל מדגם: \( n = \left(\frac{\sigma}{\text{SE}}\right)^2 \).
• שונות מדגם: \( s^2 = \frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1} \).