المعلم (Parameter) هو قيمة عددية تصف المجتمع (كالمتوسط \(\mu\) أو التباين \(\sigma^2\))، بينما المُقدِّر (Estimator) هو صيغة تُحسَب من العينة وتُستخدم لتخمين المعلم (كمتوسط العينة \(\bar{x}\)). القيمة العددية الناتجة تُسمى التقدير النقطي.

خصائص المُقدِّر الجيد:

• عدم التحيز (Unbiased): في المتوسط عبر عينات كثيرة يُصيب المُقدِّر المعلم، أي \( E(\hat{\theta}) = \theta \). التحيز هو \( \text{Bias} = E(\hat{\theta}) - \theta \).
• الكفاءة (Efficiency): بين مُقدِّرَين غير متحيزَين، الأكفأ هو ذو التباين الأصغر — يتشتت أقل حول المعلم.

متوسط مربعات الخطأ (MSE) يقيس جودة المُقدِّر الكلية:

للمُقدِّر غير المتحيز التحيز صفر، وبالتالي \( \text{MSE}(\hat{\theta}) = \text{Var}(\hat{\theta}) \).

متوسط العينة هو أفضل تقدير نقطي لـ\(\mu\) وهو غير متحيز: \( E(\bar{x}) = \mu \). يُقاس تشتته بـخطأ معيار المتوسط:

يُقدَّر تباين المجتمع غير المتحيز بتباين العينة مع القسمة على \((n-1)\):

مثال 1: خطأ معيار المتوسط

السؤال: في مجتمع ما الانحراف المعياري \( \sigma = 20 \). نسحب عينة حجمها \( n = 25 \). ما خطأ معيار متوسط العينة؟

الحل:

1. نستخدم الصيغة \( \text{SE}(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \).
2. نعوّض: \( \text{SE} = \frac{20}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} \).
3. نحسب: \( \frac{20}{5} = 4 \).
4. ملاحظة: كلما زاد حجم العينة قلّ خطأ المعيار، لأن \(\sqrt{n}\) في المقام يكبر.

الإجابة: خطأ المعيار هو \( 4 \).

مثال 2: حجم العينة المطلوب

السؤال: نريد خطأ معيار للمتوسط لا يتجاوز \( 2 \). الانحراف المعياري للمجتمع \( \sigma = 16 \). ما حجم العينة المطلوب؟

الحل:

1. ننطلق من \( \text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \) ونستخرج \(n\).
2. نستخرج الجذر: \( \sqrt{n} = \frac{\sigma}{\text{SE}} = \frac{16}{2} = 8 \).
3. نربّع: \( n = 8^2 = 64 \).
4. تحقق: \( \frac{16}{\sqrt{64}} = \frac{16}{8} = 2 \) — بالضبط المطلوب.

الإجابة: العينة المطلوبة حجمها \( n = 64 \).

مثال 3: تباين العينة من المشاهدات

السؤال: عينة من أربع مشاهدات: \( 4, 7, 9, 12 \). احسب تباين العينة غير المتحيز \( s^2 \).

الحل:

1. أولًا المتوسط: \( \bar{x} = \frac{4+7+9+12}{4} = \frac{32}{4} = 8 \).
2. الانحرافات عن المتوسط: \( -4, -1, 1, 4 \)؛ مربعاتها: \( 16, 1, 1, 16 \).
3. مجموع مربعات الانحرافات: \( 16 + 1 + 1 + 16 = 34 \).
4. نقسم على \( (n-1) = 3 \): \( s^2 = \frac{34}{3} \approx 11.33 \).

الإجابة: \( s^2 = \frac{34}{3} \approx 11.33 \).

مثال 4: MSE لمُقدِّر غير متحيز

السؤال: متوسط العينة \( \bar{x} \) مُقدِّر غير متحيز لـ\(\mu\). المعطى \( \sigma = 12 \) و\( n = 9 \). ما \( \text{MSE}(\bar{x}) \)؟

الحل:

1. بما أن \( \bar{x} \) غير متحيز، التحيز صفر، وبالتالي \( \text{MSE}(\bar{x}) = \text{Var}(\bar{x}) \).
2. تباين متوسط العينة هو \( \text{Var}(\bar{x}) = \frac{\sigma^2}{n} \).
3. نعوّض: \( \frac{12^2}{9} = \frac{144}{9} \).
4. نحسب: \( \frac{144}{9} = 16 \) (لاحظ أنه \( \text{SE}^2 = 4^2 \) أيضًا).

الإجابة: \( \text{MSE}(\bar{x}) = 16 \).

مثال 5: اختيار المُقدِّر الأكفأ

السؤال: مُقدِّران غير متحيزَين لـ\(\theta\): للمُقدِّر \(A\) تباين \( \text{Var}(A) = 9 \)، وللمُقدِّر \(B\) تباين \( \text{Var}(B) = 4 \). أيهما أفضل؟

الحل:

1. كلا المُقدِّرَين غير متحيزَين، أي \( E(A) = E(B) = \theta \) — لا فرق في التحيز.
2. في هذه الحالة المعيار هو الكفاءة: يُفضَّل المُقدِّر ذو التباين الأصغر.
3. بما أن \( \text{Var}(B) = 4 \lt 9 = \text{Var}(A) \)، المُقدِّر \(B\) أكفأ.
4. للمُقدِّرات غير المتحيزة MSE يساوي التباين، فـ\(B\) له MSE أصغر أيضًا.

الإجابة: المُقدِّر \(B\) أفضل (أكفأ، تباينه أصغر).

✗ خطأ شائع: حساب تباين العينة بالقسمة على \(n\) بدلًا من \((n-1)\).

✓ الطريقة الصحيحة: القسمة على \(n\) تعطي مُقدِّرًا متحيزًا نحو الأسفل (أصغر من اللازم). المُقدِّر غير المتحيز لتباين المجتمع يستخدم \((n-1)\): \( s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \).

✗ خطأ شائع: الخلط بين الانحراف المعياري للعينة \(s\) وخطأ معيار المتوسط \(\text{SE}\).

✓ الطريقة الصحيحة: \(s\) يصف تشتت المشاهدات الفردية، بينما \( \text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \) يصف تشتت المتوسط بين العينات. SE دائمًا أصغر ويتناقص بزيادة \(n\).

✗ خطأ شائع: نسيان إخراج الجذر من \(n\) وحساب \( \text{SE} = \frac{\sigma}{n} \).

✓ الطريقة الصحيحة: في المقام يقع \(\sqrt{n}\) لا \(n\). لذا مضاعفة حجم العينة أربع مرات يُقلّل خطأ المعيار مرتين فقط، لأن \( \sqrt{4} = 2 \).

• مُقدِّر غير متحيز: \( E(\hat{\theta}) = \theta \).
• الكفاءة: من بين غير المتحيزَين، الأكفأ = ذو التباين الأصغر.
• MSE \( = \text{Var}(\hat{\theta}) + \text{Bias}^2 \)؛ لغير المتحيز \( \text{MSE} = \text{Var} \).
• خطأ معيار المتوسط: \( \text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \).
• حجم العينة: \( n = \left(\frac{\sigma}{\text{SE}}\right)^2 \).
• تباين العينة: \( s^2 = \frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1} \).