代数技巧 - 第十一部分
比与比例
📐 什么是比?
比是两个或多个量之间的比较。
记号:\(a : b\) 或 \(\frac{a}{b}\)
💡 生活中的例子:
蛋糕配方需要 2 杯面粉和 3 杯糖。
面粉与糖的比是 2:3
⚖️ 等比(比的性质)
把两项同时乘以或除以同一个数,比值不变!
例子:
\(2:3 = 4:6 = 6:9 = 10:15\)
都是同一个比!(分别乘以 2、3、5……)
化简比:
\(12:18 = 6:9 = 2:3\)
(先除以 2,再除以 3)
🧮 按比例分配
💡 方法:
- 把比的各部分相加,得到「总份数」
- 用总量除以总份数,得到一份的值
- 用比中的每一份乘以一份的值
✏️ 例 1: 把 100 按 2:3 分配
步骤 1:总份数:\(2 + 3 = 5\)
步骤 2:一份的值:\(\frac{100}{5} = 20\)
步骤 3:
第一部分:\(2 \times 20 = 40\)
第二部分:\(3 \times 20 = 60\)
答:40 和 60
检验:\(40 + 60 = 100\) ✓
✏️ 例 2: 把 180 按 2:3:4 分配
总份数:\(2 + 3 + 4 = 9\)
一份的值:\(\frac{180}{9} = 20\)
第一部分:\(2 \times 20 = 40\)
第二部分:\(3 \times 20 = 60\)
第三部分:\(4 \times 20 = 80\)
答:40、60 和 80
📊 比例(相等的比)
比例是两个比之间的相等关系:
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)
💡 交叉相乘法则:
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c\)
✏️ 例 3: 若 \(\frac{3}{4} = \frac{x}{20}\),求 x
交叉相乘:
\(4 \cdot x = 3 \cdot 20\)
\(4x = 60\)
\(x = 15\)
答:\(x = 15\)
✏️ 例 4: 若 \(\frac{x}{6} = \frac{10}{15}\),求 x
\(15x = 6 \cdot 10\)
\(15x = 60\)
\(x = 4\)
答:\(x = 4\)
📝 应用题
✏️ 例 5: 班级里男生与女生的比是 3:2。如果班里有 30 个学生,有多少男生?
总份数:\(3 + 2 = 5\)
一份的值:\(\frac{30}{5} = 6\)
男生:\(3 \times 6 = 18\)
答:18 个男生
✏️ 例 6: 如果 5 个工人在 12 天内完成一项工作,10 个工人多少天能完成?
这是反比例(工人越多 = 天数越少)
\(5 \times 12 = 10 \times x\)
\(60 = 10x\)
\(x = 6\)
答:6 天
🔄 正比例与反比例
| 正比例 | 反比例 |
|---|---|
| 一个增大 → 另一个增大 | 一个增大 → 另一个减小 |
| \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\) | \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\) |
| 货物越多 = 钱越多 | 工人越多 = 时间越少 |
💡 考试提示
化简比为最简形式
交叉相乘解比例
判断:正比例还是反比例?
📝 总结
比:量之间的比较
按比例分配:总份数、一份值、相乘
比例:交叉相乘!