التقنية الجبرية – يا
النسبة
📐 ما هي النسبة؟
النسبة هي مقارنة بين كميتين أو أكثر.
الرمز: \(a : b\) أو \(\frac{a}{b}\)
💡 مثال من الحياة:
وصفة كعكة تتطلب 2 كوب دقيق و3 أكواب سكر.
النسبة بين الدقيق والسكر هي 2:3
⚖️ النسب المتكافئة
عند ضرب أو قسمة كلا الطرفين بالعدد نفسه – تبقى النسبة دون تغيير!
مثال:
\(2:3 = 4:6 = 6:9 = 10:15\)
كلها نفس النسبة! (ضربنا في 2، في 3، في 5...)
اختزال النسبة:
\(12:18 = 6:9 = 2:3\)
(قسمنا على 2، ثم على 3)
🧮 تقسيم كمية بنسبة معطاة
💡 الطريقة:
- نجمع أجزاء النسبة للحصول على "مجموع الأجزاء"
- نقسم المجموع الكلي على عدد الأجزاء
- نضرب كل جزء من النسبة في قيمة جزء واحد
✏️ مثال 1: قسّم 100 بنسبة 2:3
الخطوة 1: مجموع الأجزاء: \(2 + 3 = 5\)
الخطوة 2: قيمة جزء واحد: \(\frac{100}{5} = 20\)
الخطوة 3:
الجزء الأول: \(2 \times 20 = 40\)
الجزء الثاني: \(3 \times 20 = 60\)
الإجابة: 40 و60
تحقق: \(40 + 60 = 100\) ✓
✏️ مثال 2: قسّم 180 بنسبة 2:3:4
مجموع الأجزاء: \(2 + 3 + 4 = 9\)
قيمة جزء واحد: \(\frac{180}{9} = 20\)
الجزء الأول: \(2 \times 20 = 40\)
الجزء الثاني: \(3 \times 20 = 60\)
الجزء الثالث: \(4 \times 20 = 80\)
الإجابة: 40، 60 و80
📊 التناسب (نسبة متساوية)
التناسب هو مساواة بين نسبتين:
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)
💡 قاعدة الضرب المتقاطع:
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c\)
✏️ مثال 3: أوجد x إذا \(\frac{3}{4} = \frac{x}{20}\)
الضرب المتقاطع:
\(4 \cdot x = 3 \cdot 20\)
\(4x = 60\)
\(x = 15\)
الإجابة: \(x = 15\)
✏️ مثال 4: أوجد x إذا \(\frac{x}{6} = \frac{10}{15}\)
\(15x = 6 \cdot 10\)
\(15x = 60\)
\(x = 4\)
الإجابة: \(x = 4\)
📝 مسائل لفظية
✏️ مثال 5: نسبة الأولاد إلى البنات في الفصل هي 3:2. إذا كان في الفصل 30 طالباً، كم عدد الأولاد؟
مجموع الأجزاء: \(3 + 2 = 5\)
قيمة الجزء: \(\frac{30}{5} = 6\)
الأولاد: \(3 \times 6 = 18\)
الإجابة: 18 ولداً
✏️ مثال 6: إذا أنهى 5 عمال عملاً في 12 يوماً، كم يوماً يحتاج 10 عمال لإنهائه؟
هذه نسبة عكسية (عمال أكثر = أيام أقل)
\(5 \times 12 = 10 \times x\)
\(60 = 10x\)
\(x = 6\)
الإجابة: 6 أيام
🔄 النسبة الطردية والعكسية
| النسبة الطردية | النسبة العكسية |
|---|---|
| أحدهما يزيد → الآخر يزيد | أحدهما يزيد → الآخر يقل |
| \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\) | \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\) |
| بضاعة أكثر = مال أكثر | عمال أكثر = وقت أقل |
💡 نصائح للاختبار
اختزل النسب إلى أبسط صورة
الضرب المتقاطع لحل التناسب
تحقق: طردية أم عكسية؟
📝 ملخص
النسبة: مقارنة بين كميات
التقسيم بنسبة: مجموع الأجزاء، قيمة جزء، الضرب
التناسب: الضرب المتقاطع!