🔍 探究:函数与其导数的关系
🎯 活动目标
在本活动中,您将亲自发现函数图像与其导数图像之间的奇妙关系。
关键问题: 如果我知道函数图像的样子,我能否画出导数的图像?
📚 复习:什么是导数?
函数在某一点的导数就是该点处切线的斜率。
\(f'(x_0) = \text{在点 } x_0 \text{ 处的} f \text{ 图像的切线斜率}\)
🎮 第一部分:自由探究
⚠️ 操作说明: 缓慢拖动滑块 a(从右向左),观察发生的变化。
📝 请回答以下问题:
1. 当点位于函数(蓝色图像)的上升部分时,斜率的符号是什么?
2. 当点位于函数的下降部分时,斜率的符号是什么?
3. 当点位于极值点(极大值或极小值)时,斜率是什么?
🔮 第二部分:重大发现
现在我们来揭晓导数图像(红色图像)!
请在上方应用中勾选 "显示导数" 复选框。
📝 请填写表格:
拖动点并填写:
| 函数 f 的状态 | 斜率符号 | 导数图像 f' 位于... |
|---|---|---|
| f 上升 ↗ | ______ | x 轴上方 / 下方 |
| f 下降 ↘ | ______ | x 轴上方 / 下方 |
| 极值点 | ______ | ______ |
💡 第三部分:总结与归纳
🏆 我们发现的规律:
✍️ 第四部分:练习
第 1 题:
已知函数 f 的图像。函数在区间 \((-\infty, 2)\) 上单调递增,在区间 \((2, \infty)\) 上单调递减。
(1) 在区间 \((-\infty, 2)\) 上,导数的符号是什么?______
(2) 在区间 \((2, \infty)\) 上,导数的符号是什么?______
(3) 当 \(x=2\) 时,导数的值是什么?______
(4) 在函数 f 中,\(x=2\) 这一点是什么类型的点?______
第 2 题:
已知 \(f'(x) > 0\) 对所有 \(x < 1\) 成立,且 \(f'(x) < 0\) 对所有 \(x > 1\) 成立。
(1) 函数 f 在哪些区间上单调递增?______
(2) 函数 f 在哪些区间上单调递减?______
(3) 在 \(x=1\) 处会发生什么?______
🎯 进阶挑战:
若 \(f(x) = x^3 - 3x\),请(估计地)绘制导数 \(f'(x)\) 的图像,无需计算!
提示:找出 f 在何处单调递增、何处单调递减,以及极值点的位置。