代数向量 - 第三部分
空间中的直线与平面
📏 空间直线方程 - 参数形式
直线由一个点和方向向量确定:
- \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) - 直线上的一点
- \(\vec{d} = (a, b, c)\) - 方向向量
向量方程:
\(\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{d}\)
参数方程:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
✏️ 例:写出过点 \(P(1, 2, 3)\) 且方向向量为 \(\vec{d} = (2, -1, 4)\) 的直线方程:
\(x = 1 + 2t\)
\(y = 2 - t\)
\(z = 3 + 4t\)
📏 直线方程 - 对称式
\(\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\)
💡 从参数方程到对称式:
从每个方程中分离出 t,然后令其相等。
✏️ 例:直线 \(x=1+2t, y=2-t, z=3+4t\) 化为对称式:
\(\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{4}\)
📍 过两点的直线
过 \(A(x_1, y_1, z_1)\) 与 \(B(x_2, y_2, z_2)\) 的直线:
方向向量: \(\vec{d} = \overrightarrow{AB} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)\)
\(\frac{x - x_1}{x_2-x_1} = \frac{y - y_1}{y_2-y_1} = \frac{z - z_1}{z_2-z_1}\)
✏️ 例:过 \(A(1,0,2)\) 与 \(B(3,1,5)\) 的直线:
\(\vec{d} = (3-1, 1-0, 5-2) = (2, 1, 3)\)
\(\frac{x-1}{2} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-2}{3}\)
🔲 平面方程
平面由一个点和法向量(垂直于平面)确定:
- \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) - 平面上的一点
- \(\vec{n} = (A, B, C)\) - 法向量
一般方程:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
其中 \(\vec{n} = (A, B, C)\) 是法向量!
💡 如何求 D?
将已知点代入方程并求解。
✏️ 例:过 \(P(1, 2, 3)\) 且法向量为 \(\vec{n} = (2, -1, 4)\) 的平面:
方程:\(2x - y + 4z + D = 0\)
代入 P:\(2(1) - 2 + 4(3) + D = 0\)
\(2 - 2 + 12 + D = 0 \Rightarrow D = -12\)
方程:\(2x - y + 4z - 12 = 0\)
🔲 过三点的平面
方法:
- 由三点构造两个向量:\(\overrightarrow{AB}\) 与 \(\overrightarrow{AC}\)
- 求法向量:\(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\)
- 用法向量与其中一点写出平面方程
✏️ 例:过 \(A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)\) 的平面:
\(\overrightarrow{AB} = (-1, 1, 0)\),\(\overrightarrow{AC} = (-1, 0, 1)\)
\(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1, (-1) \cdot 0 - 1 \cdot (-1))\)
\(= (1, 1, 1)\)
方程:\(x + y + z + D = 0\)
代入 A:\(1 + 0 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = -1\)
方程:\(x + y + z - 1 = 0\)
📏 点到平面的距离
点 \(P(x_0, y_0, z_0)\) 到平面 \(Ax + By + Cz + D = 0\) 的距离:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
✏️ 例:点 \(P(2, 1, -1)\) 到平面 \(2x - 2y + z - 5 = 0\) 的距离:
\(d = \frac{|2(2) - 2(1) + (-1) - 5|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|4 - 2 - 1 - 5|}{\sqrt{9}} = \frac{|-4|}{3} = \frac{4}{3}\)
🔄 直线与平面的位置关系
两平面平行:
法向量平行:\(\vec{n_1} \parallel \vec{n_2}\)
两平面垂直:
\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0\)
直线平行于平面:
\(\vec{d} \perp \vec{n}\) 即 \(\vec{d} \cdot \vec{n} = 0\)
直线垂直于平面:
\(\vec{d} \parallel \vec{n}\)
📋 总结表
| 对象 | 方程 |
|---|---|
| 直线(参数式) | \(x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct\) |
| 直线(对称式) | \(\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\) |
| 平面 | \(Ax + By + Cz + D = 0\) |
| 点到平面距离 | \(\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\) |
💡 考试提示
法向量:平面方程中 x,y,z 的系数
三点定平面:用向量积!
距离:分子加绝对值
📝 第三部分总结
直线:点 + 方向向量
平面:\(Ax + By + Cz + D = 0\)
🎉 代数向量主题完结!