المتجهات الجبرية – الجزء الثالث
الخطوط والمستويات في الفضاء
📏 معادلة الخط في الفضاء – الصورة البارامترية
يُحدَّد الخط بـنقطة + متجه اتجاه:
- \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) - نقطة على الخط
- \(\vec{d} = (a, b, c)\) - متجه الاتجاه
المعادلة المتجهية:
\(\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{d}\)
المعادلات البارامترية:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
✏️ مثال: اكتب معادلة الخط المار بـ\(P(1, 2, 3)\) مع متجه اتجاه \(\vec{d} = (2, -1, 4)\):
\(x = 1 + 2t\)
\(y = 2 - t\)
\(z = 3 + 4t\)
📏 معادلة الخط – الصورة المتماثلة
\(\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\)
💡 التحويل من البارامترية إلى المتماثلة:
نعزل t من كل معادلة ثم نساوي.
✏️ مثال: الخط \(x=1+2t, y=2-t, z=3+4t\) في الصورة المتماثلة:
\(\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{4}\)
📍 الخط عبر نقطتين
خط مار بـ\(A(x_1, y_1, z_1)\) و\(B(x_2, y_2, z_2)\):
متجه الاتجاه: \(\vec{d} = \overrightarrow{AB} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)\)
\(\frac{x - x_1}{x_2-x_1} = \frac{y - y_1}{y_2-y_1} = \frac{z - z_1}{z_2-z_1}\)
✏️ مثال: خط مار بـ\(A(1,0,2)\) و\(B(3,1,5)\):
\(\vec{d} = (3-1, 1-0, 5-2) = (2, 1, 3)\)
\(\frac{x-1}{2} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-2}{3}\)
🔲 معادلة المستوى
يُحدَّد المستوى بـنقطة + متجه عمودي (عمودي على المستوى):
- \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) - نقطة على المستوى
- \(\vec{n} = (A, B, C)\) - المتجه العمودي
المعادلة العامة:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
حيث \(\vec{n} = (A, B, C)\) هو المتجه العمودي!
💡 كيف نجد D؟
نعوّض النقطة المعروفة في المعادلة ونحل.
✏️ مثال: مستوى مار بـ\(P(1, 2, 3)\) مع متجه عمودي \(\vec{n} = (2, -1, 4)\):
المعادلة: \(2x - y + 4z + D = 0\)
تعويض P: \(2(1) - 2 + 4(3) + D = 0\)
\(2 - 2 + 12 + D = 0 \Rightarrow D = -12\)
المعادلة: \(2x - y + 4z - 12 = 0\)
🔲 المستوى عبر ثلاث نقاط
الطريقة:
- ننشئ متجهين من النقاط: \(\overrightarrow{AB}\) و\(\overrightarrow{AC}\)
- نجد المتجه العمودي: \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\)
- نكتب معادلة المستوى بالمتجه العمودي وإحدى النقاط
✏️ مثال: مستوى مار بـ\(A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)\):
\(\overrightarrow{AB} = (-1, 1, 0)\), \(\overrightarrow{AC} = (-1, 0, 1)\)
\(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1, (-1) \cdot 0 - 1 \cdot (-1))\)
\(= (1, 1, 1)\)
المعادلة: \(x + y + z + D = 0\)
تعويض A: \(1 + 0 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = -1\)
المعادلة: \(x + y + z - 1 = 0\)
📏 المسافة من نقطة إلى مستوى
المسافة من النقطة \(P(x_0, y_0, z_0)\) إلى المستوى \(Ax + By + Cz + D = 0\):
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
✏️ مثال: المسافة من \(P(2, 1, -1)\) إلى المستوى \(2x - 2y + z - 5 = 0\):
\(d = \frac{|2(2) - 2(1) + (-1) - 5|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|4 - 2 - 1 - 5|}{\sqrt{9}} = \frac{|-4|}{3} = \frac{4}{3}\)
🔄 العلاقات بين الخطوط والمستويات
مستويان متوازيان:
المتجهان العموديان متوازيان: \(\vec{n_1} \parallel \vec{n_2}\)
مستويان متعامدان:
\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0\)
خط موازٍ لمستوى:
\(\vec{d} \perp \vec{n}\) أي \(\vec{d} \cdot \vec{n} = 0\)
خط عمودي على مستوى:
\(\vec{d} \parallel \vec{n}\)
📋 جدول ملخص
| الكائن | المعادلة |
|---|---|
| خط (بارامتري) | \(x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct\) |
| خط (متماثل) | \(\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\) |
| مستوى | \(Ax + By + Cz + D = 0\) |
| المسافة من نقطة إلى مستوى | \(\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\) |
💡 نصائح للاختبار
المتجه العمودي: معاملات x,y,z في المستوى
3 نقاط: حاصل الضرب المتجهي!
المسافة: قيمة مطلقة في البسط
📝 ملخص الجزء الثالث
الخط: نقطة + متجه اتجاه
مستوى: \(Ax + By + Cz + D = 0\)
🎉 نهاية موضوع المتجهات الجبرية!