几何向量第四部分 - 数量积

几何向量 - 第四部分

数量积、向量夹角与垂直

⚡ 数量积 - 定义

若 \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) 与 \(\vec{v} = (v_1, v_2)\),则:

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2\)

💡 注意:

结果是一个数(标量),不是向量!
因此称为"数量积"(也称为内积)
另一种记号:\(\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle\)

例:

\((3, 2) \cdot (4, 5) = 3 \cdot 4 + 2 \cdot 5 = 12 + 10 = 22\)

\((1, -2) \cdot (6, 3) = 1 \cdot 6 + (-2) \cdot 3 = 6 - 6 = 0\)

\((-2, 4) \cdot (3, -1) = -6 - 4 = -10\)

📐 几何定义

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta\)

其中 θ 是两向量之间的夹角

💡 符号的意义:

\(\vec{u} \cdot \vec{v} > 0\) → 锐角(\(\theta < 90°\))
\(\vec{u} \cdot \vec{v} < 0\) → 钝角(\(\theta > 90°\))
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) → 直角(\(\theta = 90°\))

📐 数量积的性质

1. 交换律:

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)

2. 分配律:

\(\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\)

3. 标量提取:

\((k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})\)

4. 自身积:

\(\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2\)

⊥ 垂直(正交)

\(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)

💡 用文字表达:

两个向量互相垂直,当且仅当它们的数量积等于零。

例:

检验 \(\vec{u} = (3, 2)\) 与 \(\vec{v} = (4, -6)\) 是否垂直:

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 4 + 2 \cdot (-6) = 12 - 12 = 0\)

由于数量积 = 0,两向量互相垂直!✓

📐 向量之间的夹角

由公式 \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta\) 得:

\(\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\)

✏️ 例:求 \(\vec{u} = (1, 0)\) 与 \(\vec{v} = (1, 1)\) 之间的夹角。

步骤 1:数量积

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1\)

步骤 2:长度

\(|\vec{u}| = 1\),\(|\vec{v}| = \sqrt{2}\)

步骤 3:公式

\(\cos\theta = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

答案:\(\theta = 45°\)

⭐ 单位向量的数量积

标准单位向量:

\(\hat{i} = (1, 0)\), \(\hat{j} = (0, 1)\)

\(\hat{i} \cdot \hat{i} = 1\)	\(\hat{j} \cdot \hat{j} = 1\)
\(\hat{i} \cdot \hat{j} = 0\)(垂直!)

📏 向量投影

\(\vec{u}\) 在 \(\vec{v}\) 上的投影:

\(\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \cdot \vec{v}\)

投影长度(标量):

\(|\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u}| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|}\)

✏️ 综合例题

例 1:求 x 使 \(\vec{u} = (x, 3)\) 与 \(\vec{v} = (2, -4)\) 垂直。

垂直 ⟺ \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)

\(x \cdot 2 + 3 \cdot (-4) = 0\)

\(2x - 12 = 0\)

\(x = 6\)

例 2:在三角形 ABC 中:\(A(1,2)\)、\(B(4,1)\)、\(C(2,5)\)。求角 A。

\(\overrightarrow{AB} = (3, -1)\),\(\overrightarrow{AC} = (1, 3)\)

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 0\)

角 A 是 \(90°\)!(直角三角形)

📋 总结表 - 数量积

公式	用途
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2\)	计算数量积
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta\)	几何定义
\(\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\)	向量间夹角
\(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)	垂直判别

💡 考试提示

垂直:数量积 = 0

夹角:使用公式!

符号:正=锐角,负=钝角

📝 第四部分总结

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2\)