المتجهات الهندسية – الجزء الرابع
حاصل الضرب القياسي، الزاوية بين المتجهات والتعامد
⚡ حاصل الضرب القياسي – التعريف
إذا \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) و\(\vec{v} = (v_1, v_2)\) فإن:
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2\)
💡 انتبه:
- النتيجة هي عدد (نقياس)، وليس متجهاً!
- لذلك تُسمى "حاصل الضرب القياسي" (أو الضرب الداخلي)
- رمز إضافي: \(\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle\)
أمثلة:
\((3, 2) \cdot (4, 5) = 3 \cdot 4 + 2 \cdot 5 = 12 + 10 = 22\)
\((1, -2) \cdot (6, 3) = 1 \cdot 6 + (-2) \cdot 3 = 6 - 6 = 0\)
\((-2, 4) \cdot (3, -1) = -6 - 4 = -10\)
📐 التعريف الهندسي
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta\)
حيث θ هي الزاوية بين المتجهين
💡 معنى الإشارة:
- \(\vec{u} \cdot \vec{v} > 0\) → زاوية حادة (\(\theta < 90°\))
- \(\vec{u} \cdot \vec{v} < 0\) → زاوية منفرجة (\(\theta > 90°\))
- \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) → زاوية قائمة (\(\theta = 90°\))
📐 خصائص حاصل الضرب القياسي
1. تبادلية:
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
2. توزيعية:
\(\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\)
3. إخراج النقياس:
\((k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})\)
4. الضرب الذاتي:
\(\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2\)
⊥ التعامد
\(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
💡 بكلمات:
متجهان عموديان (متعامدان) إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما القياسي يساوي الصفر.
مثال:
تحقق مما إذا كان \(\vec{u} = (3, 2)\) و\(\vec{v} = (4, -6)\) متعامدين:
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 4 + 2 \cdot (-6) = 12 - 12 = 0\)
بما أن حاصل الضرب = 0، المتجهان متعامدان! ✓
📐 الزاوية بين المتجهات
من الصيغة \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta\) نحصل على:
\(\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\)
✏️ مثال: أوجد الزاوية بين \(\vec{u} = (1, 0)\) و\(\vec{v} = (1, 1)\).
الخطوة 1: حاصل الضرب القياسي
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1\)
الخطوة 2: الأطوال
\(|\vec{u}| = 1\), \(|\vec{v}| = \sqrt{2}\)
الخطوة 3: الصيغة
\(\cos\theta = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
الإجابة: \(\theta = 45°\)
⭐ حاصل ضرب متجهات الوحدة
متجهات الوحدة القياسية:
\(\hat{i} = (1, 0)\), \(\hat{j} = (0, 1)\)
| \(\hat{i} \cdot \hat{i} = 1\) | \(\hat{j} \cdot \hat{j} = 1\) |
| \(\hat{i} \cdot \hat{j} = 0\) (متعامدان!) | |
📏 إسقاط المتجه (البروجكشن)
الإسقاط لـ\(\vec{u}\) على \(\vec{v}\):
\(\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \cdot \vec{v}\)
طول الإسقاط (نقياسي):
\(|\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u}| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|}\)
✏️ أمثلة شاملة
مثال 1: أوجد x بحيث يكون \(\vec{u} = (x, 3)\) و\(\vec{v} = (2, -4)\) متعامدين.
التعامد ⟺ \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
\(x \cdot 2 + 3 \cdot (-4) = 0\)
\(2x - 12 = 0\)
\(x = 6\)
مثال 2: في المثلث ABC: \(A(1,2)\), \(B(4,1)\), \(C(2,5)\). أوجد الزاوية A.
\(\overrightarrow{AB} = (3, -1)\), \(\overrightarrow{AC} = (1, 3)\)
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 0\)
الزاوية A هي \(90°\)! (مثلث قائم الزاوية)
📋 جدول ملخص – حاصل الضرب القياسي
| الصيغة | الاستخدام |
|---|---|
| \(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2\) | حساب حاصل الضرب |
| \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\) | التعريف الهندسي |
| \(\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\) | الزاوية بين المتجهين |
| \(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) | فحص التعامد |
💡 نصائح للاختبار
التعامد: حاصل الضرب = 0
الزاوية: استخدم الصيغة!
الإشارة: موجب=حادة، سالب=منفرجة
📝 ملخص الجزء الرابع
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2\)
\(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
في الجزء التالي: تطبيقات – نقطة المنتصف، تقسيم القطعة، البراهين