الإحصاء — فهم مقاييس التشتت
الإحصاء — فهم مقاييس التشتت. تدرّب على فهم المدى، التباين والانحراف المعياري: متى نستخدم كل مقياس وكيف نفسّر النتائج.
1. ما مدى البيانات: 3, 4, 8?
شرح بسيط: المدى هو المسافة بين العدد الأكبر والعدد الأصغر. 8 ناقص 3 يساوي 5.
شرح متقدم: المدى = Max − Min. وهو مقياس يعتمد فقط على الأطراف، ولذلك يكون حساسًا للقيم المتطرفة.
2. ما مدى: 10, 10, 10?
شرح بسيط: كل الأعداد متساوية، لذلك لا يوجد أي مسافة بينها → المدى يساوي 0.
شرح متقدم: عندما تكون كل القيم متطابقة، فإن المدى والتباين والانحراف المعياري جميعها تساوي 0.
3. ما مدى: 2, 9?
بسيط: 9 − 2 = 7.
متقدم: عندما يكون لدينا عددان فقط، فإن المدى يساوي الفرق بينهما مباشرة.
4. أي متتالية أكثر انتشاراً؟
A: 3, 4, 5
B: 1, 8, 15
بسيط: في السلسلة B الأعداد أبعد بكثير عن بعضها.
متقدم: مدى السلسلة A = 2، ومدى السلسلة B = 14، لذلك التشتت أكبر في السلسلة ذات المدى الأكبر.
5. إذا أُضيفت قيمة كبيرة جداً لمجموعة بيانات، ماذا يحدث للمدى؟
بسيط: العدد الكبير "يوسّع" الفجوة، لذلك المدى يزداد كثيرًا.
متقدم: المدى يعتمد فقط على القيمة الصغرى والكبرى، لذلك أي قيمة متطرفة تؤثر عليه مباشرة.
6. ما مدى: 4, 6, 6, 7, 20?
بسيط: 20 − 4 = 16.
متقدم: وجود قيمة كبيرة جدًا يزيد المدى بشكل واضح لأنه يعتمد على الأطراف فقط.
7. هل يأخذ المدى جميع القيم بالاعتبار؟
بسيط: المدى ينظر فقط إلى أكبر قيمة وأصغر قيمة.
متقدم: هذه هي المشكلة الأساسية في المدى — أنه يتجاهل معظم القيم ولا يستخدم كل المعلومات.
8. ما هو التباين؟
بسيط: نحسب كم يبتعد كل عدد عن المتوسط، ثم نأخذ متوسط هذه المسافات بعد تربيعها.
متقدم: التباين = متوسط (Xi − X̄)²، والتربيع يعطي وزنًا أكبر للانحرافات الكبيرة.
9. ما هو الانحراف المعياري؟
بسيط: يشبه التباين، لكنه يعيدنا إلى نفس وحدات القياس الأصلية.
متقدم: الانحراف المعياري = √التباين، ويساعد على فهم التشتت بوحدات البيانات نفسها.
10. في المتتالية 5، 5، 5 — ما الانحراف المعياري؟
بسيط: كل القيم متساوية، لذلك لا يوجد تشتت → الانحراف المعياري = 0.
متقدم: كل الانحرافات عن المتوسط تساوي 0 ⇒ التباين = 0 ⇒ الانحراف المعياري = 0.
11. أي متتالية أكثر انتشاراً؟ A: 3,4,5 | B: 0,4,8
بسيط: في السلسلة B توجد قفزات أكبر بين القيم.
متقدم: الانحرافات عن المتوسط أكبر بكثير في B، لذلك الانحراف المعياري أكبر والتشتت أكبر.
12. أُضيفت القيمة 10 إلى: 0، 10، 20. ماذا يحدث للانتشار؟
بسيط: أضفنا قيمة في الوسط، لذلك القيم أصبحت أقرب لبعضها.
متقدم: المدى لا يتغير، لكن الانحرافات عن المتوسط تقل، لذلك التباين والانحراف المعياري ينخفضان.
13. ماذا يشير الانحراف المعياري الصغير؟
بسيط: معظم القيم متقاربة ومتشابهة.
متقدم: الانحراف المعياري الصغير يدل على تشتت منخفض حول المتوسط.
14. متتاليتان بنفس المدى — هل يجب أن يكون الانتشار متطابقاً؟
بسيط: يمكن أن تكون إحدى السلاسل مركزة في الوسط والأخرى منتشرة.
متقدم: المدى يعتمد على الأطراف فقط، بينما التباين يأخذ جميع المسافات بعين الاعتبار.
15. كل قيمة في متتالية تُضرب في 2. ماذا يحدث للانتشار؟
بسيط: كل المسافات تضاعفت، لذلك التشتت يتضاعف.
متقدم: الانحراف المعياري يُضرب في c، والتباين يُضرب في c².
16. الفصل A له درجات 70–80. الفصل B له درجات 20–95. أيهما انتشاره أكبر؟
بسيط: في الصف B الفروق بين الدرجات أكبر بكثير.
متقدم: الانحراف المعياري الأكبر يدل على انتشار أوسع حول المتوسط.
17. إذا كانت جميع قيم المتتالية متطابقة، ما الصحيح؟
18. ماذا يشير الانتشار الكبير؟
19. كيف يختلف المدى عن التباين؟