Teoremas de geometría — Teorema de Tales y semejanza de triángulos
Teoremas de geometría — Teorema de Tales y semejanza de triángulos. Preguntas para practicar y profundizar la comprensión del teorema de Tales y la semejanza de triángulos. Práctica de matemáticas en línea con soluciones y explicaciones detalladas.
Práctica del teorema de Tales y la semejanza — Tales, razones iguales, teoremas de semejanza AA/LLL/LAL, razón de semejanza, razón de áreas.
Teorema de Tales: rectas paralelas → razones iguales. Tales en un triángulo: DE ∥ tercer lado.
⫽ Teorema de Thales: si tres rectas paralelas cortan dos transversales, entonces:
💡 Explicación:
⫽ Teorema de Thales fundamental
Teorema de Thales: si tres rectas paralelas cortan dos transversales, ¡entonces las razones entre los segmentos son iguales!
\(\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}\) ✓
△ Thales en el triángulo: si una recta es paralela a un lado de un triángulo, entonces:
💡 Explicación:
△ Teorema de Thales en el triángulo
Teorema: si \(DE \parallel BC\) en el triángulo \(ABC\), entonces:
\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\) ✓
¡La recta paralela divide los lados en la misma razón!
↔️ Teorema recíproco: si una recta divide dos lados de un triángulo en la misma razón, entonces:
💡 Explicación:
↔️ El teorema recíproco
Teorema recíproco: si en el triángulo \(ABC\): \(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\), ¡entonces \(DE \parallel BC\)! ✓
¡Es una forma de demostrar el paralelismo!
Resumen: \(DE \parallel BC \Leftrightarrow \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\) (¡los dos sentidos son correctos!)
△ Definición: dos triángulos son semejantes si:
💡 Explicación:
△ Semejanza de triángulos
Definición: dos triángulos son semejantes si:
1. Todos los ángulos correspondientes son iguales ✓
2. La razón de los lados correspondientes es constante ✓
Notación: \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)
📐 Razón de semejanza: en triángulos semejantes con razón de semejanza \(k=2\), la razón entre los perímetros es:
💡 Explicación:
📐 Razón de semejanza
Regla: si la razón de semejanza = \(k\), entonces:
· razón de longitudes (lados, perímetro) = \(k\) ✓
· razón de áreas = \(k^2\) ✓
· razón de volúmenes = \(k^3\) ✓
En nuestro caso: \(k = 2\), razón de perímetros = 2:1 ✓, razón de áreas = 4:1
∠ Semejanza AA: dos triángulos son semejantes si:
💡 Explicación:
∠ Criterio AA de semejanza
Teorema: si los tres ángulos correspondientes son iguales, ¡entonces los triángulos son semejantes! ✓
\(\angle A = \angle D\), \(\angle B = \angle E\), \(\angle C = \angle F\) \(\Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF\)
De hecho basta con: ¡dos ángulos iguales (AA)! Porque el tercero se deduce de la suma 180° ✓
━ Semejanza LLL: dos triángulos son semejantes si:
💡 Explicación:
━ Criterio LLL de semejanza
Teorema: si la razón de los tres lados correspondientes es constante, ¡entonces los triángulos son semejantes! ✓
\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k\) \(\Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF\)
Ejemplo: el triángulo 3-4-5 es semejante al triángulo 6-8-10. Razón: \(\frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\) ✓
∠ Semejanza LAL: dos triángulos son semejantes si:
💡 Explicación:
∠ Criterio LAL de semejanza
Teorema: si dos lados están en la misma razón y el ángulo comprendido entre ellos es igual, ¡entonces los triángulos son semejantes! ✓
\(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}\) y también \(\angle A = \angle D\) \(\Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF\)
⚠️ Importante: ¡el ángulo debe estar comprendido (entre los dos lados)!
🔢 Cálculo: en un triángulo, \(DE \parallel BC\). Si \(AD=4\), \(DB=2\), \(AE=6\), entonces \(EC\) es igual a:
💡 Explicación:
🔢 Uso del teorema de Thales
Dado: \(DE \parallel BC\), \(AD = 4\), \(DB = 2\), \(AE = 6\), \(EC = ?\)
Solución: teorema de Thales: \(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
\(\frac{4}{2} = \frac{6}{EC}\), \(2 = \frac{6}{EC}\), \(EC = 3\) ✓
🔢 Cálculo: dos triángulos semejantes con lados 3-4-5 y 6-8-10. La razón de semejanza es:
💡 Explicación:
🔢 Hallar la razón de semejanza
Dado: triángulo 1: 3-4-5; triángulo 2: 6-8-10
Solución: razón = lado pequeño / lado grande
\(\frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\) ✓
Razón de semejanza: 1:2
📐 Áreas: en triángulos semejantes con razón de semejanza 3:1, la razón de áreas es:
💡 Explicación:
📐 Razón de áreas
Regla: si la razón de semejanza = \(k\), entonces la razón de áreas = \(k^2\) ✓
En nuestro caso: razón de semejanza = 3:1, \(k = 3\)
Razón de áreas = \(3^2 : 1^2 = 9:1\) ✓
∠ Bisectriz: la bisectriz de un ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en la razón:
💡 Explicación:
∠ Teorema de la bisectriz
Teorema: ¡una bisectriz de un ángulo divide el lado opuesto en la razón de los lados!
Si \(AD\) biseca \(\angle A\), entonces \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\) ✓
¡Es una extensión del teorema de Thales!
📏 Alturas: en triángulos semejantes con razón de semejanza \(k\), la razón de las alturas es:
💡 Explicación:
📏 Razón de las alturas
Regla: en triángulos semejantes, la razón de todas las longitudes (lados, alturas, medianas, radios) = \(k\) ✓
¡Todo en la misma razón!
Ejemplo: si la razón de semejanza = 2:1, entonces: razón de alturas = 2:1; razón de medianas = 2:1; razón de perímetros = 2:1.
⊿ Triángulo rectángulo: la altura sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo crea:
💡 Explicación:
⊿ Semejanza en un triángulo rectángulo
Teorema importante: la altura sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo lo divide en dos triángulos.
¡Y los tres (el original + los 2 pequeños) son semejantes entre sí! ✓
Triple semejanza: \(\triangle ABC \sim \triangle ACD \sim \triangle CBD\) ✓
🔍 Identificación: un triángulo con ángulos 50°-60°-70° es semejante a un triángulo con ángulos:
💡 Explicación:
🔍 Identificación de semejanza
Regla: ¡los triángulos son semejantes si todos los ángulos son iguales!
50°-60°-70° es semejante únicamente a 50°-60°-70° ✓
⚠️ Error común: ¿25°-30°-35° es la mitad de 50°-60°-70°? ¡No! ¡Los ángulos no funcionan por proporción! Se necesitan exactamente los mismos ángulos ✗ (Además 25+30+35=90°, ¡no es un triángulo válido!)
🔢 Cálculo: un triángulo grande es semejante a un triángulo pequeño en razón 4:1. Si el área del pequeño es 5 cm², el área del grande es:
💡 Explicación:
🔢 Cálculo del área
Dado: razón de semejanza = 4:1, área del pequeño = 5 cm², área del grande = ?
Solución: razón de áreas = (razón de semejanza)²
Razón de áreas = \(4^2 : 1^2 = 16:1\)
Área del grande = \(5 \times 16 = 80\) cm² ✓
⫽ Thales extendido: una recta paralela a un lado de un triángulo que pasa por el punto medio de un segundo lado:
💡 Explicación:
⫽ Thales extendido - segmento medio
Teorema: si una recta es paralela a un lado de un triángulo y pasa por el punto medio de un segundo lado, ¡entonces pasa por el punto medio del tercer lado! ✓
¡Es el segmento medio!
Explicación: según Thales: \(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\). Si \(AD = DB\) (punto medio), entonces también \(AE = EC\) (punto medio) ✓
△ Relación: los triángulos congruentes son también:
💡 Explicación:
△ Congruencia y semejanza
Relación: ¡la congruencia es un caso particular de la semejanza!
Congruencia \(\subset\) semejanza ✓
Triángulos congruentes = semejantes con razón 1:1.
Diferencia: congruencia: la misma forma y el mismo tamaño; semejanza: la misma forma (se permiten tamaños distintos).
🔢 Aplicación: en un triángulo rectángulo con catetos 6 y 8, la altura sobre la hipotenusa es igual a:
💡 Explicación:
🔢 Altura sobre la hipotenusa con semejanza
Solución 1 - mediante el área:
Hipotenusa: \(c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\)
Área: \(S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\); también \(S = \frac{1}{2} \times c \times h = \frac{1}{2} \times 10 \times h\)
\(24 = 5h\), \(h = 4.8\) ✓
Solución 2 - fórmula: \(h = \frac{a \times b}{c} = \frac{6 \times 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8\) ✓
📚 Resumen: ¿cuál de los siguientes teoremas NO es correcto?
💡 Explicación:
📚 Resumen de la semejanza
La afirmación incorrecta: "En triángulos semejantes la razón de los ángulos es constante" ¡no es correcto! ✗
¡Los ángulos no están en una razón — son exactamente iguales! \(\angle A = \angle D\) (no en una razón) ⚠️
Los teoremas correctos:
✓ Todos los ángulos correspondientes son iguales (¡no en una razón!)
✓ La razón de los lados correspondientes es constante = \(k\)
✓ Razón de longitudes = \(k\); razón de áreas = \(k^2\); razón de volúmenes = \(k^3\)
✓ Teorema de Thales: recta \(\parallel\) a un lado \(\Rightarrow\) división en la misma razón
✓ Criterios de semejanza: AA, LLL, LAL
✓ Bisectriz: \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)
✓ Congruencia = semejanza con \(k=1\)