תרגול גאומטריה משפטים - משפט תאלס ודמיון משולשים
תרגול גאומטריה משפטים - משפט תאלס ודמיון משולשים. שאלות לתרגול ולהעמקת ההבנה בנושא גאומטריה משפטים - משפט תאלס ודמיון משולשים. תרגול מתמטיקה אונליין עם פתרונות והסברים מפורטים.
תרגול גאומטריה משפט תאלס ודמיון - תאלס, יחסים שווים, משפטי דמיון AA/SSS/SAS, יחס דמיון, יחס שטחים.
משפט תאלס: ישרים מקבילים → יחסים שווים תאלס במשולש: DE ∥ BC → AD/DB = AE/EC המשפט ההפוך (זיהוי מקבילות) דמיון משולשים: אותה צורה יחס דמיון k יחס אורכים = k, יחס שטחים = k² משפטי דמיון: AA (שתי זוויות) SSS (שלוש צלעות ביחס) SAS (שתי צלעות ביחס וזווית כלואה) חוצה זווית: BD/DC = AB/AC דמיון במשולש ישר זווית תאלס מורחב (קטע אמצעים) חפיפה = דמיון עם k=1
⫽ משפט תאלס:
אם שלושה ישרים מקבילים חותכים שני חותכים, אז:
אם שלושה ישרים מקבילים חותכים שני חותכים,
אז היחסים בין הקטעים שווים!
AB/BC = DE/EF ✓
△ תאלס במשולש:
אם ישר מקביל לצלע במשולש, אז:
אם DE ∥ BC במשולש ABC,
אז: AD/DB = AE/EC ✓
הישר המקביל חוצה את הצלעות באותו יחס!
↔️ משפט הפוך:
אם ישר חוצה שתי צלעות במשולש באותו יחס, אז:
אם במשולש ABC:
AD/DB = AE/EC
אז DE ∥ BC ✓
זו דרך להוכיח מקבילות!
DE ∥ BC ⇔ AD/DB = AE/EC
(שני הכיוונים נכונים!)
△ הגדרה:
שני משולשים דומים אם:
שני משולשים דומים אם:
1. כל הזוויות המתאימות שוות ✓
2. יחס הצלעות המתאימות קבוע ✓
סימון: △ABC ~ △DEF
📐 יחס דמיון:
במשולשים דומים עם יחס דמיון k=2, היחס בין ההיקפים הוא:
אם יחס הדמיון = k
אז:
• יחס אורכים (צלעות, היקף) = k ✓
• יחס שטחים = k² ✓
• יחס נפחים = k³ ✓
k = 2
יחס היקפים = 2:1 ✓
יחס שטחים = 4:1
∠ דמיון ז.ז.ז:
שני משולשים דומים אם:
אם שלוש הזוויות המתאימות שוות,
אז המשולשים דומים! ✓
∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
⇒ △ABC ~ △DEF
שתי זוויות שוות (AA)!
כי השלישית נובעת מסכום 180° ✓
━ דמיון צ.צ.צ:
שני משולשים דומים אם:
אם יחס שלוש הצלעות המתאימות קבוע,
אז המשולשים דומים! ✓
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
⇒ △ABC ~ △DEF
משולש 3-4-5 דומה למשולש 6-8-10
יחס: 3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2 ✓
∠ דמיון צ.ז.צ:
שני משולשים דומים אם:
אם שתי צלעות באותו יחס והזווית הכלואה ביניהן שווה,
אז המשולשים דומים! ✓
AB/DE = AC/DF וגם ∠A = ∠D
⇒ △ABC ~ △DEF
הזווית חייבת להיות כלואה (בין שתי הצלעות)!
🔢 חישוב:
במשולש, DE ∥ BC. אם AD=4, DB=2, AE=6, אז EC שווה:
DE ∥ BC
AD = 4, DB = 2
AE = 6, EC = ?
פתרון:
משפט תאלס:
AD/DB = AE/EC
4/2 = 6/EC
2 = 6/EC
EC = 3 ✓
🔢 חישוב:
שני משולשים דומים עם צלעות 3-4-5 ו-6-8-10. יחס הדמיון הוא:
משולש 1: 3-4-5
משולש 2: 6-8-10
פתרון:
יחס = צלע קטנה / צלע גדולה
3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2 ✓
יחס דמיון: 1:2
📐 שטחים:
במשולשים דומים עם יחס דמיון 3:1, יחס השטחים הוא:
אם יחס דמיון = k
אז יחס שטחים = k² ✓
יחס דמיון = 3:1
k = 3
יחס שטחים = 3² : 1² = 9:1 ✓
∠ חוצה זווית:
חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס:
חוצה זווית מחלק את הצלע שמולו ביחס הצלעות!
אם AD חוצה ∠A,
אז BD/DC = AB/AC ✓
זה הרחבה של תאלס!
📏 גבהים:
במשולשים דומים עם יחס דמיון k, יחס הגבהים הוא:
במשולשים דומים:
יחס כל האורכים (צלעות, גבהים, תיכונים, רדיוסים) = k ✓
הכל באותו יחס!
אם יחס דמיון = 2:1
אז:
• יחס גבהים = 2:1
• יחס תיכונים = 2:1
• יחס היקפים = 2:1
⊿ משולש ישר זווית:
הגובה ליתר במשולש ישר זווית יוצר:
הגובה ליתר במשולש ישר זווית מחלק אותו לשני משולשים
ושלושתם (המקורי + 2 הקטנים) דומים זה לזה! ✓
△ABC ~ △ACD ~ △CBD ✓
🔍 זיהוי:
משולש עם זוויות 50°-60°-70° דומה למשולש עם זוויות:
משולשים דומים אם כל הזוויות שוות!
50°-60°-70° דומה רק ל-50°-60°-70° ✓
25°-30°-35° הוא חצי מ-50°-60°-70°?
לא! זוויות לא עובדות ביחס!
צריך אותן זוויות בדיוק ✗
🔢 חישוב:
משולש גדול דומה למשולש קטן ביחס 4:1. אם שטח הקטן 5 ס"מ², שטח הגדול הוא:
יחס דמיון = 4:1
שטח קטן = 5 ס"מ²
שטח גדול = ?
פתרון:
יחס שטחים = (יחס דמיון)²
יחס שטחים = 4² : 1² = 16:1
שטח גדול = 5 × 16 = 80 ס"מ² ✓
⫽ תאלס מורחב:
ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש ועובר באמצע צלע שנייה:
אם ישר מקביל לצלע במשולש ועובר באמצע צלע שנייה,
אז הוא עובר באמצע הצלע השלישית! ✓
זה קטע אמצעים!
לפי תאלס: AD/DB = AE/EC
אם AD = DB (אמצע),
אז גם AE = EC (אמצע) ✓
△ קשר:
משולשים חופפים הם גם:
חפיפה = מקרה מיוחד של דמיון!
חפיפה ⊂ דמיון ✓
משולשים חופפים = דומים עם יחס 1:1
• חפיפה: אותה צורה ואותו גודל
• דמיון: אותה צורה (גדלים שונים מותרים)
🔢 יישום:
במשולש ישר זווית עם ניצבים 6 ו-8, הגובה ליתר שווה:
יתר: c = √(6²+8²) = 10
שטח: S = ½×6×8 = 24
גם: S = ½×c×h = ½×10×h
24 = 5h
h = 4.8 ✓
h = (a×b)/c = (6×8)/10 = 48/10 = 4.8 ✓
📚 סיכום:
איזה מהמשפטים הבאים לא נכון?
"במשולשים דומים יחס הזוויות קבוע"
זה לא נכון! ✗
הזוויות לא ביחס - הן שוות בדיוק!
∠A = ∠D (לא ביחס) ⚠️
✓ כל הזוויות המתאימות שוות (לא ביחס!)
✓ יחס הצלעות המתאימות קבוע = k
✓ יחס אורכים = k
✓ יחס שטחים = k²
✓ יחס נפחים = k³
✓ משפט תאלס: ישר ∥ לצלע ⇒ חלוקה באותו יחס
✓ משפטי דמיון: AA (ז.ז), SSS (צ.צ.צ), SAS (צ.ז.צ)
✓ חוצה זווית: BD/DC = AB/AC
✓ חפיפה = דמיון עם k=1