Números complejos - Parte 2
Módulo, plano complejo y representación gráfica
📐 Plano complejo (plano de Gauss)
cada número complejo \(z = a + bi\) se puede representar como un punto del plano:
- Eje X = eje real (Real axis) - representa a
- Eje Y = eje imaginario (Imaginary axis) - representa b
- el número \(z = a + bi\) se representa por el punto \((a, b)\)
📏 Módulo (valor absoluto)
el módulo de \(z = a + bi\) es la distancia al origen:
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
💡 ¡es exactamente el teorema de Pitágoras!
Ejemplos:
\(|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
\(|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)
\(|-5| = \sqrt{(-5)^2 + 0^2} = 5\) (número real)
\(|3i| = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3\) (imaginario puro)
⭐ Relación con el conjugado:
\(|z|^2 = z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2\)
📐 Propiedades del módulo
1. Siempre no negativo:
\(|z| \geq 0\)
\(|z| = 0 \iff z = 0\)
2. Multiplicación:
\(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
3. División:
\(\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\) (cuando \(z_2 \neq 0\))
4. Conjugado:
\(|\bar{z}| = |z|\)
5. Desigualdad triangular:
\(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\)
🪞 El conjugado en el plano complejo
el conjugado \(\bar{z}\) es la reflexión de z respecto al eje real.
💡 Atención:
- z y \(\bar{z}\) a la misma distancia del origen (\(|z| = |\bar{z}|\))
- z y \(\bar{z}\) simétricos respecto al eje real
- si z está en el eje real, entonces \(z = \bar{z}\)
📍 Distancia entre dos números complejos
la distancia entre \(z_1 = a + bi\) y \(z_2 = c + di\):
\(|z_1 - z_2| = \sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}\)
Ejemplo: hallar la distancia entre \(z_1 = 3 + 2i\) y \(z_2 = -1 + 5i\)
\(z_1 - z_2 = (3 + 2i) - (-1 + 5i) = 4 - 3i\)
\(|z_1 - z_2| = |4 - 3i| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)
⭕ Circunferencia en el plano complejo
la ecuación \(|z - z_0| = r\) describe una circunferencia:
- centro: \(z_0\)
- radio: \(r\)
Ejemplos:
\(|z| = 3\)
circunferencia con centro en el origen y radio 3
\(|z - 2| = 4\)
circunferencia con centro en \(z_0 = 2\) (es decir, el punto (2,0)) y radio 4
\(|z - (1 + 2i)| = 5\)
circunferencia con centro en (1,2) y radio 5
\(|z + 3i| = 2\) es decir \(|z - (-3i)| = 2\)
circunferencia con centro en (0,-3) y radio 2
📊 Desigualdades en el plano complejo
\(|z - z_0| < r\)
interior de la circunferencia (sin incluir el borde)
\(|z - z_0| \leq r\)
interior de la circunferencia incluyendo el borde (disco cerrado)
\(|z - z_0| > r\)
exterior de la circunferencia (sin incluir el borde)
Ejemplo: describir el conjunto \(|z - 1| \leq 2\)
todos los puntos dentro y sobre la circunferencia con centro en (1,0) y radio 2.
📐 Propiedades del conjugado
1. \(\overline{\overline{z}} = z\) (conjugado del conjugado = original)
2. \(\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}\)
3. \(\overline{z_1 - z_2} = \bar{z_1} - \bar{z_2}\)
4. \(\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}\)
5. \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}\)
6. \(z + \bar{z} = 2\text{Re}(z) = 2a\) (¡siempre real!)
7. \(z - \bar{z} = 2\text{Im}(z) \cdot i = 2bi\) (¡siempre imaginario puro!)
📋 Tabla resumen - Parte 2
| concepto | fórmula / definición |
|---|---|
| módulo | \(|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| distancia entre z₁ y z₂ | \(|z_1 - z_2|\) |
| circunferencia | \(|z - z_0| = r\) |
| relación con el conjugado | \(|z|^2 = z \cdot \bar{z}\) |
| conjugado geométrico | reflexión respecto al eje real |
💡 Consejos para el examen
1️⃣ Módulo
¡es Pitágoras! \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
2️⃣ Circunferencia
\(|z - z_0| = r\) es una circunferencia con centro \(z_0\)
3️⃣ Relación útil
\(z \cdot \bar{z} = |z|^2\)
4️⃣ Módulo del producto
\(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
📝 Resumen Parte 2
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(|z - z_0| = r\) → circunferencia
en la siguiente parte: ecuaciones cuadráticas y resolución en complejos