Nombres complexes - Partie 2
Module, plan complexe et représentation graphique
📐 Plan complexe (plan de Gauss)
chaque nombre complexe \(z = a + bi\) peut être représenté comme un point du plan :
- Axe X = axe réel (Real axis) - représente a
- Axe Y = axe imaginaire (Imaginary axis) - représente b
- le nombre \(z = a + bi\) est représenté par le point \((a, b)\)
📏 Module (valeur absolue)
le module de \(z = a + bi\) est la distance à l'origine :
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
💡 c'est exactement le théorème de Pythagore !
Exemples :
\(|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
\(|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)
\(|-5| = \sqrt{(-5)^2 + 0^2} = 5\) (nombre réel)
\(|3i| = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3\) (imaginaire pur)
⭐ Relation avec le conjugué :
\(|z|^2 = z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2\)
📐 Propriétés du module
1. Toujours positif ou nul :
\(|z| \geq 0\)
\(|z| = 0 \iff z = 0\)
2. Multiplication :
\(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
3. Division :
\(\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\) (quand \(z_2 \neq 0\))
4. Conjugué :
\(|\bar{z}| = |z|\)
5. Inégalité triangulaire :
\(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\)
🪞 Le conjugué dans le plan complexe
le conjugué \(\bar{z}\) est la réflexion de z par rapport à l'axe réel.
💡 Attention :
- z et \(\bar{z}\) à la même distance de l'origine (\(|z| = |\bar{z}|\))
- z et \(\bar{z}\) symétriques par rapport à l'axe réel
- si z est sur l'axe réel, alors \(z = \bar{z}\)
📍 Distance entre deux nombres complexes
la distance entre \(z_1 = a + bi\) et \(z_2 = c + di\) :
\(|z_1 - z_2| = \sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}\)
Exemple : trouver la distance entre \(z_1 = 3 + 2i\) et \(z_2 = -1 + 5i\)
\(z_1 - z_2 = (3 + 2i) - (-1 + 5i) = 4 - 3i\)
\(|z_1 - z_2| = |4 - 3i| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)
⭕ Cercle dans le plan complexe
l'équation \(|z - z_0| = r\) décrit un cercle :
- centre : \(z_0\)
- rayon : \(r\)
Exemples :
\(|z| = 3\)
cercle de centre l'origine et de rayon 3
\(|z - 2| = 4\)
cercle de centre \(z_0 = 2\) (c'est-à-dire le point (2,0)) et de rayon 4
\(|z - (1 + 2i)| = 5\)
cercle de centre (1,2) et de rayon 5
\(|z + 3i| = 2\) c'est-à-dire \(|z - (-3i)| = 2\)
cercle de centre (0,-3) et de rayon 2
📊 Inégalités dans le plan complexe
\(|z - z_0| < r\)
intérieur du cercle (bord exclu)
\(|z - z_0| \leq r\)
intérieur du cercle y compris le bord (disque fermé)
\(|z - z_0| > r\)
extérieur du cercle (bord exclu)
Exemple : décrire l'ensemble \(|z - 1| \leq 2\)
tous les points à l'intérieur et sur le cercle de centre (1,0) et de rayon 2.
📐 Propriétés du conjugué
1. \(\overline{\overline{z}} = z\) (le conjugué du conjugué = l'original)
2. \(\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}\)
3. \(\overline{z_1 - z_2} = \bar{z_1} - \bar{z_2}\)
4. \(\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}\)
5. \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}\)
6. \(z + \bar{z} = 2\text{Re}(z) = 2a\) (toujours réel !)
7. \(z - \bar{z} = 2\text{Im}(z) \cdot i = 2bi\) (toujours imaginaire pur !)
📋 Tableau récapitulatif - Partie 2
| concept | formule / définition |
|---|---|
| module | \(|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| distance entre z₁ et z₂ | \(|z_1 - z_2|\) |
| cercle | \(|z - z_0| = r\) |
| relation avec le conjugué | \(|z|^2 = z \cdot \bar{z}\) |
| conjugué géométrique | réflexion par rapport à l'axe réel |
💡 Conseils pour l'examen
1️⃣ Module
c'est Pythagore ! \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
2️⃣ Cercle
\(|z - z_0| = r\) est un cercle de centre \(z_0\)
3️⃣ Relation utile
\(z \cdot \bar{z} = |z|^2\)
4️⃣ Module du produit
\(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
📝 Résumé Partie 2
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(|z - z_0| = r\) → cercle
dans la prochaine partie : équations du second degré et résolution dans les complexes