الأعداد المركبة – الجزء الثاني
القيمة المطلقة، المستوى المركب والتمثيل البياني
📐 المستوى المركب (مستوى غاوس)
يمكن تمثيل كل عدد مركب \(z = a + bi\) كـنقطة في المستوى:
- المحور X = المحور الحقيقي (Real axis) - يمثّل a
- المحور Y = المحور التخيلي (Imaginary axis) - يمثّل b
- يُمثَّل العدد \(z = a + bi\) بالنقطة \((a, b)\)
📏 القيمة المطلقة (المعامل)
القيمة المطلقة للعدد \(z = a + bi\) هي المسافة من نقطة الأصل:
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
💡 هذه بالضبط نظرية فيثاغورس!
أمثلة:
\(|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
\(|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)
\(|-5| = \sqrt{(-5)^2 + 0^2} = 5\) (عدد حقيقي)
\(|3i| = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3\) (عدد تخيلي خالص)
⭐ الصلة بالمرافق:
\(|z|^2 = z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2\)
📐 خصائص القيمة المطلقة
1. دائماً غير سالبة:
\(|z| \geq 0\)
\(|z| = 0 \iff z = 0\)
2. الضرب:
\(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
3. القسمة:
\(\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\) (حيث \(z_2 \neq 0\))
4. المرافق:
\(|\bar{z}| = |z|\)
5. متباينة المثلث:
\(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\)
🪞 المرافق في المستوى المركب
المرافق \(\bar{z}\) هو انعكاس z بالنسبة للمحور الحقيقي.
💡 انتبه:
- z و\(\bar{z}\) على نفس المسافة من نقطة الأصل (\(|z| = |\bar{z}|\))
- z و\(\bar{z}\) متماثلان بالنسبة للمحور الحقيقي
- إذا كان z على المحور الحقيقي، فإن \(z = \bar{z}\)
📍 المسافة بين عددين مركبين
المسافة بين \(z_1 = a + bi\) و\(z_2 = c + di\):
\(|z_1 - z_2| = \sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}\)
مثال: أوجد المسافة بين \(z_1 = 3 + 2i\) و\(z_2 = -1 + 5i\)
\(z_1 - z_2 = (3 + 2i) - (-1 + 5i) = 4 - 3i\)
\(|z_1 - z_2| = |4 - 3i| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)
⭕ الدائرة في المستوى المركب
المعادلة \(|z - z_0| = r\) تصف دائرة:
- المركز: \(z_0\)
- نصف القطر: \(r\)
أمثلة:
\(|z| = 3\)
دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 3
\(|z - 2| = 4\)
دائرة مركزها \(z_0 = 2\) (أي النقطة (2,0)) ونصف قطرها 4
\(|z - (1 + 2i)| = 5\)
دائرة مركزها (1,2) ونصف قطرها 5
\(|z + 3i| = 2\) أي \(|z - (-3i)| = 2\)
دائرة مركزها (0,-3) ونصف قطرها 2
📊 المتباينات في المستوى المركب
\(|z - z_0| < r\)
داخل الدائرة (لا تشمل الحافة)
\(|z - z_0| \leq r\)
داخل الدائرة بما فيها الحافة (قرص مغلق)
\(|z - z_0| > r\)
خارج الدائرة (لا تشمل الحافة)
مثال: صف المجموعة \(|z - 1| \leq 2\)
جميع النقاط داخل وعلى دائرة مركزها (1,0) ونصف قطرها 2.
📐 خصائص المرافق
1. \(\overline{\overline{z}} = z\) (مرافق المرافق = الأصل)
2. \(\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}\)
3. \(\overline{z_1 - z_2} = \bar{z_1} - \bar{z_2}\)
4. \(\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}\)
5. \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}\)
6. \(z + \bar{z} = 2\text{Re}(z) = 2a\) (دائماً حقيقي!)
7. \(z - \bar{z} = 2\text{Im}(z) \cdot i = 2bi\) (دائماً تخيلي خالص!)
📋 جدول ملخص – الجزء الثاني
| المفهوم | الصيغة/التعريف |
|---|---|
| القيمة المطلقة | \(|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| المسافة بين z₁ وz₂ | \(|z_1 - z_2|\) |
| الدائرة | \(|z - z_0| = r\) |
| الصلة بالمرافق | \(|z|^2 = z \cdot \bar{z}\) |
| المرافق بيانياً | انعكاس بالنسبة للمحور الحقيقي |
💡 نصائح للاختبار
1️⃣ القيمة المطلقة
هذه نظرية فيثاغورس! \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
2️⃣ الدائرة
\(|z - z_0| = r\) هذه دائرة مركزها \(z_0\)
3️⃣ علاقة مفيدة
\(z \cdot \bar{z} = |z|^2\)
4️⃣ الضرب
\(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
📝 ملخص الجزء الثاني
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(|z - z_0| = r\) → دائرة
في الجزء التالي: المعادلات التربيعية والحل في الأعداد المركبة