复数第二部分 - 模与复平面

复数 - 第二部分

模、复平面与几何表示

📐 复平面(高斯平面)

每个复数 \(z = a + bi\) 都可以表示为平面上的一点:

X 轴 = 实轴(Real axis)- 表示 a
Y 轴 = 虚轴(Imaginary axis)- 表示 b
复数 \(z = a + bi\) 由点 \((a, b)\) 表示

📏 模(绝对值)

\(z = a + bi\) 的模是到原点的距离:

\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

💡 这正是勾股定理!

例题:

\(|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

\(|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)

\(|-5| = \sqrt{(-5)^2 + 0^2} = 5\)(实数)

\(|3i| = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3\)(纯虚数)

⭐ 与共轭的关系:

\(|z|^2 = z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2\)

📐 模的性质

1. 始终非负:

\(|z| \geq 0\)

\(|z| = 0 \iff z = 0\)

2. 乘法:

\(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)

3. 除法:

\(\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\) (其中 \(z_2 \neq 0\))

4. 共轭:

\(|\bar{z}| = |z|\)

5. 三角不等式:

\(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\)

🪞 共轭复数的几何意义

共轭 \(\bar{z}\) 是 z 关于实轴的反射。

💡 注意:

z 与 \(\bar{z}\) 到原点的距离相同(\(|z| = |\bar{z}|\))
z 与 \(\bar{z}\) 关于实轴对称
若 z 在实轴上,则 \(z = \bar{z}\)

📍 两个复数之间的距离

\(z_1 = a + bi\) 与 \(z_2 = c + di\) 之间的距离:

\(|z_1 - z_2| = \sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}\)

例:求 \(z_1 = 3 + 2i\) 与 \(z_2 = -1 + 5i\) 之间的距离

\(z_1 - z_2 = (3 + 2i) - (-1 + 5i) = 4 - 3i\)

\(|z_1 - z_2| = |4 - 3i| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)

⭕ 复平面上的圆

方程 \(|z - z_0| = r\) 表示一个圆:

圆心:\(z_0\)
半径:\(r\)

例题:

\(|z| = 3\)

以原点为圆心,半径为 3 的圆

\(|z - 2| = 4\)

以 \(z_0 = 2\)(即点 (2,0))为圆心,半径为 4 的圆

\(|z - (1 + 2i)| = 5\)

以 (1,2) 为圆心,半径为 5 的圆

\(|z + 3i| = 2\) 即 \(|z - (-3i)| = 2\)

以 (0,-3) 为圆心,半径为 2 的圆

📊 复平面上的不等式

\(|z - z_0| < r\)

圆的内部(不包括边界)

\(|z - z_0| \leq r\)

圆的内部包括边界(闭圆盘)

\(|z - z_0| > r\)

圆的外部(不包括边界)

例:描述集合 \(|z - 1| \leq 2\)

所有以 (1,0) 为圆心、半径为 2 的圆内及圆上的点。

📐 共轭的性质

1. \(\overline{\overline{z}} = z\) (共轭的共轭 = 原复数)

2. \(\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}\)

3. \(\overline{z_1 - z_2} = \bar{z_1} - \bar{z_2}\)

4. \(\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}\)

5. \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}\)

6. \(z + \bar{z} = 2\text{Re}(z) = 2a\) (始终为实数!)

7. \(z - \bar{z} = 2\text{Im}(z) \cdot i = 2bi\) (始终为纯虚数!)

📋 总结表 - 第二部分

概念	公式 / 定义
模	\(\|a+bi\| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
z₁ 与 z₂ 之间的距离	\(\|z_1 - z_2\|\)
圆	\(\|z - z_0\| = r\)
与共轭的关系	\(\|z\|^2 = z \cdot \bar{z}\)
共轭的几何意义	关于实轴的反射

💡 考试提示

1️⃣ 模

这是勾股定理!\(\sqrt{a^2 + b^2}\)

2️⃣ 圆

\(|z - z_0| = r\) 是以 \(z_0\) 为圆心的圆

3️⃣ 实用关系

\(z \cdot \bar{z} = |z|^2\)

4️⃣ 乘法的模