Números complejos - Parte 4
Forma polar (trigonométrica)
🌟 Dos representaciones de un número complejo
hasta ahora hemos conocido la representación cartesiana: \(z = a + bi\)
ahora aprenderemos otra representación - la forma polar (o trigonométrica).
💡 La idea:
en lugar de describir un punto mediante (x, y), lo describimos mediante:
- distancia al origen (r)
- ángulo desde el eje x positivo (θ)
📐 La forma polar - representación gráfica
| \(r\) | el módulo (valor absoluto) - la distancia al origen: \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| \(\theta\) | el argumento - el ángulo desde el eje x positivo (en sentido antihorario) |
🔄 Conversión entre formas
De polar a cartesiana:
\(a = r\cos\theta\)
\(b = r\sin\theta\)
De cartesiana a polar:
\(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(\tan\theta = \frac{b}{a}\)
⚠️ ¡Cuidado con θ!
al calcular \(\theta = \arctan\frac{b}{a}\), hay que prestar atención a en qué cuadrante se encuentra el punto!
⭐ Forma trigonométrica
\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
💡 Explicación:
\(z = a + bi = r\cos\theta + i \cdot r\sin\theta = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
Notación abreviada:
\(z = r \cdot \text{cis}\,\theta\)
(cis = cos + i·sin)
🧭 El ángulo según el cuadrante
💡 Regla práctica:
- Cuadrante I: \(\theta\) entre 0° y 90°
- Cuadrante II: \(\theta\) entre 90° y 180°
- Cuadrante III: \(\theta\) entre 180° y 270° (o -180° y -90°)
- Cuadrante IV: \(\theta\) entre 270° y 360° (o -90° y 0°)
✏️ Ejemplo 1: de cartesiana a polar
Convertir a forma polar: \(z = 1 + i\)
Solución:
Paso 1: calcular r
\(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
Paso 2: calcular θ
\(\tan\theta = \frac{1}{1} = 1\)
el punto está en el cuadrante I (ambas componentes positivas)
\(\theta = \frac{\pi}{4}\) (o 45°)
Respuesta: \(z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)\)
✏️ Ejemplo 2: punto en el cuadrante II
Convertir a forma polar: \(z = -1 + \sqrt{3}i\)
Solución:
Paso 1: calcular r
\(r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\)
Paso 2: calcular θ
\(\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}\)
el punto está en el cuadrante II (a negativo, b positivo)
ángulo de referencia: \(\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\)
en el cuadrante II: \(\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\) (o 120°)
Respuesta: \(z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\)
✏️ Ejemplo 3: de polar a cartesiana
Convertir a forma cartesiana: \(z = 4\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)\)
Solución:
\(r = 4, \quad \theta = \frac{\pi}{6} = 30°\)
\(a = r\cos\theta = 4 \cdot \cos\frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\)
\(b = r\sin\theta = 4 \cdot \sin\frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\)
Respuesta: \(z = 2\sqrt{3} + 2i\)
📊 Tabla de ángulos especiales
| θ | grados | cos θ | sin θ | z = cos θ + i sin θ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0° | 1 | 0 | 1 |
| \(\frac{\pi}{6}\) | 30° | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\) |
| \(\frac{\pi}{4}\) | 45° | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\) |
| \(\frac{\pi}{3}\) | 60° | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\) |
| \(\frac{\pi}{2}\) | 90° | 0 | 1 | i |
| \(\pi\) | 180° | -1 | 0 | -1 |
| \(\frac{3\pi}{2}\) | 270° | 0 | -1 | -i |
⭐ Números especiales en forma polar
\(1\)
\(r=1, \theta=0\)
\(-1\)
\(r=1, \theta=\pi\)
\(i\)
\(r=1, \theta=\frac{\pi}{2}\)
\(-i\)
\(r=1, \theta=\frac{3\pi}{2}\)
📋 Tabla resumen - Parte 4
| tema | fórmula |
|---|---|
| forma polar | \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) |
| módulo | \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| argumento | \(\tan\theta = \frac{b}{a}\) (¡según el cuadrante!) |
| polar → cartesiana | \(a = r\cos\theta, \, b = r\sin\theta\) |
💡 Consejos para el examen
1️⃣ ¡Comprobar el cuadrante!
antes de calcular θ, marcar en qué cuadrante está el punto
2️⃣ Ángulos especiales
memorizar la tabla de 30°, 45°, 60°
3️⃣ Verificación
volver a la forma cartesiana y comprobar que se obtiene el mismo z
4️⃣ ¡r siempre positivo!
el módulo r ≥ 0 siempre
📝 Resumen Parte 4
\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
\(r = |z|, \quad \theta = \arg(z)\)
en la siguiente parte: ¡fórmula de De Moivre - multiplicación, división, potencias y raíces!