Nombres complexes - Partie 4
Forme polaire (trigonométrique)
🌟 Deux représentations d'un nombre complexe
jusqu'à présent nous avons connu la représentation cartésienne : \(z = a + bi\)
maintenant nous allons apprendre une autre représentation - la forme polaire (ou trigonométrique).
💡 L'idée :
au lieu de décrire un point par (x, y), on le décrit par :
- distance à l'origine (r)
- angle depuis l'axe x positif (θ)
📐 La forme polaire - représentation graphique
| \(r\) | le module (valeur absolue) - la distance à l'origine : \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| \(\theta\) | l'argument - l'angle depuis l'axe x positif (dans le sens trigonométrique) |
🔄 Conversion entre les formes
De polaire à cartésienne :
\(a = r\cos\theta\)
\(b = r\sin\theta\)
De cartésienne à polaire :
\(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(\tan\theta = \frac{b}{a}\)
⚠️ Attention à θ !
lors du calcul de \(\theta = \arctan\frac{b}{a}\), il faut faire attention au quadrant dans lequel se trouve le point !
⭐ Forme trigonométrique
\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
💡 Explication :
\(z = a + bi = r\cos\theta + i \cdot r\sin\theta = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
Notation abrégée :
\(z = r \cdot \text{cis}\,\theta\)
(cis = cos + i·sin)
🧭 L'angle selon le quadrant
💡 Règle pratique :
- Quadrant I : \(\theta\) entre 0° et 90°
- Quadrant II : \(\theta\) entre 90° et 180°
- Quadrant III : \(\theta\) entre 180° et 270° (ou -180° et -90°)
- Quadrant IV : \(\theta\) entre 270° et 360° (ou -90° et 0°)
✏️ Exemple 1 : de cartésienne à polaire
Convertir en forme polaire : \(z = 1 + i\)
Solution :
Étape 1 : calculer r
\(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
Étape 2 : calculer θ
\(\tan\theta = \frac{1}{1} = 1\)
le point est dans le quadrant I (les deux composantes sont positives)
\(\theta = \frac{\pi}{4}\) (soit 45°)
Réponse : \(z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)\)
✏️ Exemple 2 : point dans le quadrant II
Convertir en forme polaire : \(z = -1 + \sqrt{3}i\)
Solution :
Étape 1 : calculer r
\(r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\)
Étape 2 : calculer θ
\(\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}\)
le point est dans le quadrant II (a négatif, b positif)
angle de référence : \(\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\)
dans le quadrant II : \(\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\) (soit 120°)
Réponse : \(z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\)
✏️ Exemple 3 : de polaire à cartésienne
Convertir en forme cartésienne : \(z = 4\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)\)
Solution :
\(r = 4, \quad \theta = \frac{\pi}{6} = 30°\)
\(a = r\cos\theta = 4 \cdot \cos\frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\)
\(b = r\sin\theta = 4 \cdot \sin\frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\)
Réponse : \(z = 2\sqrt{3} + 2i\)
📊 Tableau des angles particuliers
| θ | degrés | cos θ | sin θ | z = cos θ + i sin θ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0° | 1 | 0 | 1 |
| \(\frac{\pi}{6}\) | 30° | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\) |
| \(\frac{\pi}{4}\) | 45° | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\) |
| \(\frac{\pi}{3}\) | 60° | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\) |
| \(\frac{\pi}{2}\) | 90° | 0 | 1 | i |
| \(\pi\) | 180° | -1 | 0 | -1 |
| \(\frac{3\pi}{2}\) | 270° | 0 | -1 | -i |
⭐ Nombres particuliers en forme polaire
\(1\)
\(r=1, \theta=0\)
\(-1\)
\(r=1, \theta=\pi\)
\(i\)
\(r=1, \theta=\frac{\pi}{2}\)
\(-i\)
\(r=1, \theta=\frac{3\pi}{2}\)
📋 Tableau récapitulatif - Partie 4
| sujet | formule |
|---|---|
| forme polaire | \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) |
| module | \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| argument | \(\tan\theta = \frac{b}{a}\) (selon le quadrant !) |
| polaire → cartésienne | \(a = r\cos\theta, \, b = r\sin\theta\) |
💡 Conseils pour l'examen
1️⃣ Vérifier le quadrant !
avant de calculer θ, marquer dans quel quadrant se trouve le point
2️⃣ Angles particuliers
mémoriser le tableau de 30°, 45°, 60°
3️⃣ Vérification
revenir à la forme cartésienne et vérifier qu'on obtient le même z
4️⃣ r toujours positif !
le module r ≥ 0 toujours
📝 Résumé Partie 4
\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
\(r = |z|, \quad \theta = \arg(z)\)
dans la prochaine partie : formule de De Moivre - multiplication, division, puissances et racines !