复数 - 第四部分
极坐标(三角)形式
🌟 复数的两种表示
到目前为止,我们认识的是笛卡尔形式:\(z = a + bi\)
现在我们将学习另一种表示 - 极坐标形式(或三角形式)。
💡 思想:
不再用 (x, y) 描述一个点,而用:
- 到原点的距离(r)
- 从 x 轴正方向起的角度(θ)
📐 极坐标形式 - 图形表示
| \(r\) | 模(绝对值)- 到原点的距离:\(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| \(\theta\) | 辐角 - 从 x 轴正方向起的角度(逆时针方向) |
🔄 形式之间的转换
从极坐标到笛卡尔:
\(a = r\cos\theta\)
\(b = r\sin\theta\)
从笛卡尔到极坐标:
\(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(\tan\theta = \frac{b}{a}\)
⚠️ 计算 θ 时要小心!
在计算 \(\theta = \arctan\frac{b}{a}\) 时,必须注意点位于哪个象限!
⭐ 三角形式
\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
💡 推导:
\(z = a + bi = r\cos\theta + i \cdot r\sin\theta = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
简写记号:
\(z = r \cdot \text{cis}\,\theta\)
(cis = cos + i·sin)
🧭 各象限的角度
💡 经验法则:
- 第一象限:\(\theta\) 在 0° 到 90° 之间
- 第二象限:\(\theta\) 在 90° 到 180° 之间
- 第三象限:\(\theta\) 在 180° 到 270° 之间(或 -180° 到 -90°)
- 第四象限:\(\theta\) 在 270° 到 360° 之间(或 -90° 到 0°)
✏️ 例 1:从笛卡尔到极坐标
转换为极坐标形式:\(z = 1 + i\)
解答:
步骤 1:计算 r
\(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
步骤 2:计算 θ
\(\tan\theta = \frac{1}{1} = 1\)
点位于第一象限(两个分量均为正)
\(\theta = \frac{\pi}{4}\)(即 45°)
答案:\(z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)\)
✏️ 例 2:第二象限上的点
转换为极坐标形式:\(z = -1 + \sqrt{3}i\)
解答:
步骤 1:计算 r
\(r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\)
步骤 2:计算 θ
\(\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}\)
点位于第二象限(a 为负,b 为正)
基本角:\(\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\)
第二象限中:\(\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\)(即 120°)
答案:\(z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\)
✏️ 例 3:从极坐标到笛卡尔
转换为笛卡尔形式:\(z = 4\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)\)
解答:
\(r = 4, \quad \theta = \frac{\pi}{6} = 30°\)
\(a = r\cos\theta = 4 \cdot \cos\frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\)
\(b = r\sin\theta = 4 \cdot \sin\frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\)
答案:\(z = 2\sqrt{3} + 2i\)
📊 特殊角度表
| θ | 度数 | cos θ | sin θ | z = cos θ + i sin θ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0° | 1 | 0 | 1 |
| \(\frac{\pi}{6}\) | 30° | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\) |
| \(\frac{\pi}{4}\) | 45° | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\) |
| \(\frac{\pi}{3}\) | 60° | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\) |
| \(\frac{\pi}{2}\) | 90° | 0 | 1 | i |
| \(\pi\) | 180° | -1 | 0 | -1 |
| \(\frac{3\pi}{2}\) | 270° | 0 | -1 | -i |
⭐ 极坐标形式中的特殊数
\(1\)
\(r=1, \theta=0\)
\(-1\)
\(r=1, \theta=\pi\)
\(i\)
\(r=1, \theta=\frac{\pi}{2}\)
\(-i\)
\(r=1, \theta=\frac{3\pi}{2}\)
📋 总结表 - 第四部分
| 主题 | 公式 |
|---|---|
| 极坐标形式 | \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) |
| 模 | \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| 辐角 | \(\tan\theta = \frac{b}{a}\)(按象限!) |
| 极坐标 → 笛卡尔 | \(a = r\cos\theta, \, b = r\sin\theta\) |
💡 考试提示
1️⃣ 检查象限!
计算 θ 之前,先标出点所在的象限
2️⃣ 特殊角度
熟记 30°、45°、60° 表
3️⃣ 验证
转回笛卡尔形式,检查是否得到原 z
4️⃣ r 始终为正!
模 r ≥ 0 始终成立
📝 第四部分总结
\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
\(r = |z|, \quad \theta = \arg(z)\)
下一部分:棣莫弗公式 - 乘除法、幂与方根!