الأعداد المركبة – الجزء الرابع
التمثيل القطبي (المثلثي)
🌟 تمثيلان للعدد المركب
حتى الآن عرفنا التمثيل الديكارتي: \(z = a + bi\)
الآن نتعلم تمثيلاً آخر – التمثيل القطبي (أو المثلثي).
💡 الفكرة:
بدلاً من وصف نقطة بـ(x, y)، نصفها بـ:
- المسافة من نقطة الأصل (r)
- الزاوية من المحور الحقيقي الموجب (θ)
📐 التمثيل القطبي – بيانياً
| \(r\) | المعامل (القيمة المطلقة) - المسافة من نقطة الأصل: \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| \(\theta\) | الوسيطة - الزاوية من المحور الحقيقي الموجب (عكس عقارب الساعة) |
🔄 التحويل بين التمثيلين
من قطبي إلى ديكارتي:
\(a = r\cos\theta\)
\(b = r\sin\theta\)
من ديكارتي إلى قطبي:
\(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(\tan\theta = \frac{b}{a}\)
⚠️ تحذير بشأن θ!
عند حساب \(\theta = \arctan\frac{b}{a}\)، انتبه إلى أي ربع تقع فيه النقطة!
⭐ الصورة المثلثية
\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
💡 الشرح:
\(z = a + bi = r\cos\theta + i \cdot r\sin\theta = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
الرمز المختصر:
\(z = r \cdot \text{cis}\,\theta\)
(cis = cos + i·sin)
🧭 الزاوية حسب الربع
💡 قاعدة عملية:
- الربع الأول: \(\theta\) بين 0° و90°
- الربع الثاني: \(\theta\) بين 90° و180°
- الربع الثالث: \(\theta\) بين 180° و270° (أو -180° إلى -90°)
- الربع الرابع: \(\theta\) بين 270° و360° (أو -90° إلى 0°)
✏️ مثال 1: من ديكارتي إلى قطبي
حوّل إلى الصورة القطبية: \(z = 1 + i\)
الحل:
الخطوة 1: نحسب r
\(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
الخطوة 2: نحسب θ
\(\tan\theta = \frac{1}{1} = 1\)
النقطة في الربع الأول (كلا المركّبين موجبان)
\(\theta = \frac{\pi}{4}\) (أو 45°)
الإجابة: \(z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)\)
✏️ مثال 2: نقطة في الربع الثاني
حوّل إلى الصورة القطبية: \(z = -1 + \sqrt{3}i\)
الحل:
الخطوة 1: نحسب r
\(r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\)
الخطوة 2: نحسب θ
\(\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}\)
النقطة في الربع الثاني (a سالب، b موجب)
الزاوية الأساسية: \(\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\)
في الربع الثاني: \(\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\) (أو 120°)
الإجابة: \(z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\)
✏️ مثال 3: من قطبي إلى ديكارتي
حوّل إلى الصورة الديكارتية: \(z = 4\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)\)
الحل:
\(r = 4, \quad \theta = \frac{\pi}{6} = 30°\)
\(a = r\cos\theta = 4 \cdot \cos\frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\)
\(b = r\sin\theta = 4 \cdot \sin\frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\)
الإجابة: \(z = 2\sqrt{3} + 2i\)
📊 جدول الزوايا الخاصة
| θ | الدرجات | cos θ | sin θ | z = cos θ + i sin θ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0° | 1 | 0 | 1 |
| \(\frac{\pi}{6}\) | 30° | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\) |
| \(\frac{\pi}{4}\) | 45° | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\) |
| \(\frac{\pi}{3}\) | 60° | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\) |
| \(\frac{\pi}{2}\) | 90° | 0 | 1 | i |
| \(\pi\) | 180° | -1 | 0 | -1 |
| \(\frac{3\pi}{2}\) | 270° | 0 | -1 | -i |
⭐ أعداد خاصة في الصورة القطبية
\(1\)
\(r=1, \theta=0\)
\(-1\)
\(r=1, \theta=\pi\)
\(i\)
\(r=1, \theta=\frac{\pi}{2}\)
\(-i\)
\(r=1, \theta=\frac{3\pi}{2}\)
📋 جدول ملخص – الجزء الرابع
| الموضوع | الصيغة |
|---|---|
| الصورة القطبية | \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) |
| المعامل | \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| الوسيطة | \(\tan\theta = \frac{b}{a}\) (حسب الربع!) |
| قطبي → ديكارتي | \(a = r\cos\theta, \, b = r\sin\theta\) |
💡 نصائح للاختبار
1️⃣ تحقق من الربع!
قبل حساب θ، حدّد في أي ربع تقع النقطة
2️⃣ الزوايا الخاصة
احفظ الجدول 30°، 45°، 60°
3️⃣ التحقق
ارجع إلى الصورة الديكارتية وتحقق من الحصول على نفس z
4️⃣ r دائماً موجب!
المعامل r ≥ 0 دائماً
📝 ملخص الجزء الرابع
\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
\(r = |z|, \quad \theta = \arg(z)\)
في الجزء التالي: صيغة دي موافر – الضرب والقسمة والقوى والجذور!