Distribución normal
De puntuación bruta a probabilidad - proceso completo
🎯 El proceso completo
puntuación bruta (x)
puntuación Z (Z)
probabilidad/porcentaje
Paso 1: calcula la puntuación Z: \(Z = \frac{x - \bar{x}}{S}\)
Paso 2: busca la probabilidad correspondiente en la tabla Z
Paso 3: haz los ajustes necesarios (porcentaje complementario, resta de áreas)
✏️ Ejemplo 1: P(X < a) - menor que un valor dado
Pregunta: las notas de un examen siguen una distribución normal con media 75 y desviación típica 10.
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga una nota menor que 85?
Paso 1 - calcular Z:
\(Z = \frac{85 - 75}{10} = \frac{10}{10} = 1\)
Paso 2 - leer en la tabla:
P(Z ≤ 1) = 0.8413
Respuesta: el 84.13% de los estudiantes obtendrá una nota menor que 85
✏️ Ejemplo 2: P(X > a) - mayor que un valor dado
Pregunta: la altura de las mujeres sigue una distribución normal con media 165 cm y desviación típica 6 cm.
¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga una altura mayor que 175 cm?
Paso 1 - calcular Z:
\(Z = \frac{175 - 165}{6} = \frac{10}{6} \approx 1.67\)
Paso 2 - leer en la tabla:
P(Z ≤ 1.67) = 0.9525
Paso 3 - porcentaje complementario (porque se pregunta "mayor que"):
P(Z > 1.67) = 1 - 0.9525 = 0.0475
Respuesta: el 4.75% de las mujeres mide más de 175 cm
✏️ Ejemplo 3: P(a < X < b) - entre dos valores
Pregunta: el peso de los recién nacidos sigue una distribución normal con media 3.2 kg y desviación típica 0.5 kg.
¿Cuál es la probabilidad de que un bebé pese entre 2.8 y 3.5 kg?
Paso 1 - calcular Z para los dos valores:
\(Z_1 = \frac{2.8 - 3.2}{0.5} = \frac{-0.4}{0.5} = -0.8\)
\(Z_2 = \frac{3.5 - 3.2}{0.5} = \frac{0.3}{0.5} = 0.6\)
Paso 2 - leer en la tabla:
P(Z ≤ -0.8) = 0.2119
P(Z ≤ 0.6) = 0.7257
Paso 3 - resta de áreas:
P(-0.8 < Z < 0.6) = 0.7257 - 0.2119 = 0.5138
Respuesta: el 51.38% de los bebés pesa entre 2.8 y 3.5 kg
✏️ Ejemplo 4: área simétrica alrededor de la media
Pregunta: las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 y desviación típica 15.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga un CI entre 85 y 115?
💡 Atención: ¡el intervalo es simétrico alrededor de la media! (100±15)
Paso 1 - calcular Z:
\(Z_1 = \frac{85 - 100}{15} = -1\)
\(Z_2 = \frac{115 - 100}{15} = 1\)
Paso 2 - leer en la tabla:
P(Z ≤ 1) = 0.8413
P(Z ≤ -1) = 0.1587
Paso 3 - resta:
P(-1 < Z < 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826
Respuesta: aproximadamente el 68% de las personas tiene un CI entre 85 y 115
(¡es la regla 68-95-99.7!)
📋 Tabla resumen - tipos de preguntas
| Tipo de pregunta | Método |
|---|---|
| P(X < a) | Calcular Z, leer directamente de la tabla |
| P(X > a) | Calcular Z, leer la tabla, calcular 1 - (valor de la tabla) |
| P(a < X < b) | Calcular dos Z, leer ambos en la tabla, restar |
📝 Resumen
puntuación bruta → puntuación Z → tabla → probabilidad
"mayor que" = porcentaje complementario
"entre" = resta de áreas