التوزيع الطبيعي
من الدرجة الخام إلى الاحتمال – العملية الكاملة
🎯 العملية الكاملة
درجة خام (x)
درجة معيارية (Z)
احتمال / نسبة
الخطوة 1: احسب الدرجة المعيارية: \(Z = \frac{x - \bar{x}}{S}\)
الخطوة 2: ابحث عن الاحتمال في جدول Z
الخطوة 3: أجرِ تعديلات عند الحاجة (مكمل أو طرح مساحتَين)
✏️ مثال 1: P(X < a) – أقل من قيمة معينة
السؤال: درجات اختبار توزّعت طبيعياً بمتوسط 75 وانحراف معياري 10. ما احتمال أن يحصل طالب على أقل من 85؟
خ1: \(Z = \frac{85-75}{10} = 1\)
خ2: P(Z ≤ 1) = 0.8413
الإجابة: 84.13% من الطلاب يحصلون على أقل من 85
✏️ مثال 2: P(X > a) – أكبر من قيمة معينة
السؤال: طول النساء يتوزع طبيعياً بمتوسط 165 سم وانحراف 6 سم. ما احتمال أن تكون امرأة أطول من 175 سم؟
خ1: \(Z = \frac{175-165}{6} \approx 1.67\)
خ2: P(Z ≤ 1.67) = 0.9525
خ3 (مكمل لأن السؤال "أكبر من"):
P(Z > 1.67) = 1 - 0.9525 = 0.0475
الإجابة: 4.75% من النساء طولهن يزيد عن 175 سم
✏️ مثال 3: P(a < X < b) – بين قيمتَين
السؤال: وزن الأطفال الرضّع يتوزع طبيعياً بمتوسط 3.2 كجم وانحراف 0.5 كجم. ما احتمال أن يكون وزن الطفل بين 2.8 و3.5 كجم؟
خ1: \(Z_1 = \frac{2.8-3.2}{0.5} = -0.8\) | \(Z_2 = \frac{3.5-3.2}{0.5} = 0.6\)
خ2: P(Z ≤ -0.8) = 0.2119 | P(Z ≤ 0.6) = 0.7257
خ3: P = 0.7257 - 0.2119 = 0.5138
الإجابة: 51.38% من الأطفال أوزانهم بين 2.8 و3.5 كجم
✏️ مثال 4: مساحة متماثلة حول المتوسط
السؤال: درجات IQ تتوزع طبيعياً بمتوسط 100 وانحراف 15. ما احتمال أن يكون IQ شخص بين 85 و115؟
💡 النطاق متماثل حول المتوسط! (100±15)
\(Z_1 = -1\) | \(Z_2 = 1\)
P = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826
الإجابة: نحو 68% من الناس لديهم IQ بين 85 و115
(هذه قاعدة 68-95-99.7!)
📋 جدول ملخص – أنواع الأسئلة
| نوع السؤال | الطريقة |
|---|---|
| P(X < a) | احسب Z، اقرأ من الجدول |
| P(X > a) | احسب Z، اقرأ من الجدول، احسب 1-(القيمة) |
| P(a < X < b) | احسب Z₁ وZ₂، اقرأهما، اطرح |
📝 الملخص
درجة خام → درجة معيارية → جدول → احتمال
"أكبر من" = احتمال مكمل
"بين" = طرح المساحتَين