Loi normale
Du score brut à la probabilité - processus complet
🎯 Le processus complet
score brut (x)
score Z (Z)
probabilité/pourcentage
Étape 1 : calcule le score Z : \(Z = \frac{x - \bar{x}}{S}\)
Étape 2 : cherche la probabilité correspondante dans la table Z
Étape 3 : fais les ajustements nécessaires (pourcentage complémentaire, soustraction des aires)
✏️ Exemple 1 : P(X < a) - inférieur à une valeur donnée
Question : les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 75 et d'écart-type 10.
Quelle est la probabilité qu'un élève obtienne une note inférieure à 85 ?
Étape 1 - calculer Z :
\(Z = \frac{85 - 75}{10} = \frac{10}{10} = 1\)
Étape 2 - lire dans la table :
P(Z ≤ 1) = 0.8413
Réponse : 84,13% des élèves obtiendront une note inférieure à 85
✏️ Exemple 2 : P(X > a) - supérieur à une valeur donnée
Question : la taille des femmes suit une loi normale de moyenne 165 cm et d'écart-type 6 cm.
Quelle est la probabilité qu'une femme mesure plus de 175 cm ?
Étape 1 - calculer Z :
\(Z = \frac{175 - 165}{6} = \frac{10}{6} \approx 1.67\)
Étape 2 - lire dans la table :
P(Z ≤ 1.67) = 0.9525
Étape 3 - pourcentage complémentaire (car on demande "supérieur à") :
P(Z > 1.67) = 1 - 0.9525 = 0.0475
Réponse : 4,75% des femmes mesurent plus de 175 cm
✏️ Exemple 3 : P(a < X < b) - entre deux valeurs
Question : le poids des nouveau-nés suit une loi normale de moyenne 3,2 kg et d'écart-type 0,5 kg.
Quelle est la probabilité qu'un bébé pèse entre 2,8 et 3,5 kg ?
Étape 1 - calculer Z pour les deux valeurs :
\(Z_1 = \frac{2.8 - 3.2}{0.5} = \frac{-0.4}{0.5} = -0.8\)
\(Z_2 = \frac{3.5 - 3.2}{0.5} = \frac{0.3}{0.5} = 0.6\)
Étape 2 - lire dans la table :
P(Z ≤ -0.8) = 0.2119
P(Z ≤ 0.6) = 0.7257
Étape 3 - soustraction des aires :
P(-0.8 < Z < 0.6) = 0.7257 - 0.2119 = 0.5138
Réponse : 51,38% des bébés pèsent entre 2,8 et 3,5 kg
✏️ Exemple 4 : aire symétrique autour de la moyenne
Question : les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 15.
Quelle est la probabilité qu'une personne ait un QI entre 85 et 115 ?
💡 Attention : l'intervalle est symétrique autour de la moyenne ! (100±15)
Étape 1 - calculer Z :
\(Z_1 = \frac{85 - 100}{15} = -1\)
\(Z_2 = \frac{115 - 100}{15} = 1\)
Étape 2 - lire dans la table :
P(Z ≤ 1) = 0.8413
P(Z ≤ -1) = 0.1587
Étape 3 - soustraction :
P(-1 < Z < 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826
Réponse : environ 68% des personnes ont un QI entre 85 et 115
(c'est la règle 68-95-99.7 !)
📋 Table résumée - types de questions
| Type de question | Méthode |
|---|---|
| P(X < a) | Calculer Z, lire directement dans la table |
| P(X > a) | Calculer Z, lire la table, calculer 1 - (valeur de la table) |
| P(a < X < b) | Calculer deux Z, les lire dans la table, soustraire |
📝 Résumé
score brut → score Z → table → probabilité
"supérieur à" = pourcentage complémentaire
"entre" = soustraction des aires