正态分布
从原始分数到概率 — 完整流程
🎯 完整流程
原始分数(x)
标准分数(Z)
概率/百分比
步骤 1:计算标准分数:\(Z = \frac{x - \bar{x}}{S}\)
步骤 2:在 Z 表中查找对应概率
步骤 3:必要时作调整(补充百分比、面积相减)
✏️ 例 1:P(X < a) — 小于某个值
题目:考试分数服从正态分布,平均值为 75,标准差为 10。
一名学生得分低于 85 的概率是多少?
步骤 1 — 计算 Z:
\(Z = \frac{85 - 75}{10} = \frac{10}{10} = 1\)
步骤 2 — 查表:
P(Z ≤ 1) = 0.8413
答案:84.13% 的学生得分低于 85
✏️ 例 2:P(X > a) — 大于某个值
题目:女性身高服从正态分布,平均值为 165 厘米,标准差为 6 厘米。
一名女性身高高于 175 厘米的概率是多少?
步骤 1 — 计算 Z:
\(Z = \frac{175 - 165}{6} = \frac{10}{6} \approx 1.67\)
步骤 2 — 查表:
P(Z ≤ 1.67) = 0.9525
步骤 3 — 补充百分比(因为问的是 "大于"):
P(Z > 1.67) = 1 - 0.9525 = 0.0475
答案:4.75% 的女性身高高于 175 厘米
✏️ 例 3:P(a < X < b) — 两个值之间
题目:新生儿体重服从正态分布,平均值为 3.2 千克,标准差为 0.5 千克。
一名婴儿体重在 2.8 至 3.5 千克之间的概率是多少?
步骤 1 — 对两个值都计算 Z:
\(Z_1 = \frac{2.8 - 3.2}{0.5} = \frac{-0.4}{0.5} = -0.8\)
\(Z_2 = \frac{3.5 - 3.2}{0.5} = \frac{0.3}{0.5} = 0.6\)
步骤 2 — 查表:
P(Z ≤ -0.8) = 0.2119
P(Z ≤ 0.6) = 0.7257
步骤 3 — 面积相减:
P(-0.8 < Z < 0.6) = 0.7257 - 0.2119 = 0.5138
答案:51.38% 的婴儿体重在 2.8 至 3.5 千克之间
✏️ 例 4:关于平均值的对称面积
题目:IQ 分数服从正态分布,平均值为 100,标准差为 15。
一个人的 IQ 在 85 至 115 之间的概率是多少?
💡 注意:该区间关于平均值对称!(100±15)
步骤 1 — 计算 Z:
\(Z_1 = \frac{85 - 100}{15} = -1\)
\(Z_2 = \frac{115 - 100}{15} = 1\)
步骤 2 — 查表:
P(Z ≤ 1) = 0.8413
P(Z ≤ -1) = 0.1587
步骤 3 — 相减:
P(-1 < Z < 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826
答案:约 68% 的人 IQ 在 85 至 115 之间
(这正是 68-95-99.7 法则!)
📋 总结表 — 题型
| 题型 | 方法 |
|---|---|
| P(X < a) | 计算 Z,直接查表 |
| P(X > a) | 计算 Z,查表,再算 1 -(表中数值) |
| P(a < X < b) | 计算两个 Z,分别查表,再相减 |
📝 总结
原始分数 → 标准分数 → 查表 → 概率
"大于" = 补充百分比
"之间" = 面积相减