Vectores geométricos - Parte 5
Aplicaciones: punto medio, división de segmento y demostraciones geométricas
📍 Punto medio de un segmento
el punto medio M del segmento AB con \(A(x_1, y_1)\) y \(B(x_2, y_2)\):
\(M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\)
💡 con vectores:
\(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})\)
Ejemplo: hallar el punto medio del segmento AB con \(A(2, 5)\) y \(B(8, -1)\):
\(M = \left(\frac{2+8}{2}, \frac{5+(-1)}{2}\right) = (5, 2)\)
📐 División de un segmento en una razón dada
punto P que divide AB en la razón \(m:n\) (desde A):
\(P = \left(\frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m+n}, \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m+n}\right)\)
💡 con vectores:
\(\overrightarrow{OP} = \frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA} + \frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}\)
✏️ Ejemplo: hallar el punto P sobre AB que lo divide en la razón 2:3 desde A.
datos: \(A(1, 4)\), \(B(6, -1)\), \(m=2, n=3\)
\(x_P = \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 6}{5} = \frac{15}{5} = 3\)
\(y_P = \frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot (-1)}{5} = \frac{10}{5} = 2\)
\(P = (3, 2)\)
⚖️ Baricentro de un triángulo
el baricentro G del triángulo ABC:
\(G = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)\)
💡 Propiedades:
- punto de intersección de las medianas
- divide cada mediana en la razón 2:1 desde el vértice
- \(\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})\)
Ejemplo: baricentro del triángulo \(A(0,0), B(6,0), C(3,6)\):
\(G = \left(\frac{0+6+3}{3}, \frac{0+0+6}{3}\right) = (3, 2)\)
📝 Técnicas de demostración con vectores
| demostrar | método |
|---|---|
| rectas paralelas | \(\vec{u} = k\vec{v}\) |
| rectas perpendiculares | \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) |
| puntos alineados | \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\) |
| paralelogramo | \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) |
| segmentos iguales | \(|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}|\) |
✏️ Demostración 1: base media de un triángulo
Teorema: el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad.
Demostración: en el triángulo ABC, M es punto medio de AB, N es punto medio de AC.
\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}\)
\(= -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
\(= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})\)
\(= \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
Conclusión: \(\overrightarrow{MN} \parallel \overrightarrow{BC}\) y \(|MN| = \frac{1}{2}|BC|\) ✓
✏️ Demostración 2: las diagonales de un paralelogramo se bisecan
Teorema: las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente.
Demostración: en el paralelogramo ABCD, sea M = punto medio de AC.
en un paralelogramo: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)
punto medio de AC: \(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC})\)
punto medio de BD: \(\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD})\)
como \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\) (en el paralelogramo)
se obtiene: \(M = N\)
Conclusión: ¡las diagonales se cortan en el punto medio! ✓
✏️ Ejemplo de síntesis
Pregunta: dado el cuadrilátero ABCD con \(A(0,0), B(4,2), C(6,6), D(2,4)\).
demostrar que es un paralelogramo.
Solución:
\(\overrightarrow{AB} = (4-0, 2-0) = (4, 2)\)
\(\overrightarrow{DC} = (6-2, 6-4) = (4, 2)\)
como \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), ¡los lados AB y DC son paralelos e iguales!
\(\overrightarrow{AD} = (2, 4)\)
\(\overrightarrow{BC} = (6-4, 6-2) = (2, 4)\)
como \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\), ¡también AD y BC son paralelos e iguales!
Conclusión: ABCD es un paralelogramo ✓
📋 Tabla resumen - fórmulas
| tema | fórmula |
|---|---|
| punto medio | \(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\) |
| división en razón m:n | \(P = \left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n}, \frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\) |
| baricentro | \(G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\) |
💡 Consejos para el examen
Punto medio: media de las coordenadas
Paralelogramo: AB = DC
Demostraciones: ¡usar las fórmulas!
📝 Resumen Parte 5
\(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
paralelogramo: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)
🎉 ¡fin del tema vectores geométricos!