Vecteurs géométriques - Partie 5
Applications : milieu, partage de segment et démonstrations géométriques
📍 Milieu d'un segment
le milieu M du segment AB avec \(A(x_1, y_1)\) et \(B(x_2, y_2)\) :
\(M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\)
💡 avec des vecteurs :
\(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})\)
Exemple : trouver le milieu du segment AB avec \(A(2, 5)\) et \(B(8, -1)\) :
\(M = \left(\frac{2+8}{2}, \frac{5+(-1)}{2}\right) = (5, 2)\)
📐 Partage d'un segment dans un rapport donné
point P qui partage AB dans le rapport \(m:n\) (depuis A) :
\(P = \left(\frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m+n}, \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m+n}\right)\)
💡 avec des vecteurs :
\(\overrightarrow{OP} = \frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA} + \frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}\)
✏️ Exemple : trouver le point P sur AB qui le partage dans le rapport 2:3 depuis A.
données : \(A(1, 4)\), \(B(6, -1)\), \(m=2, n=3\)
\(x_P = \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 6}{5} = \frac{15}{5} = 3\)
\(y_P = \frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot (-1)}{5} = \frac{10}{5} = 2\)
\(P = (3, 2)\)
⚖️ Centre de gravité d'un triangle
le centre de gravité G du triangle ABC :
\(G = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)\)
💡 Propriétés :
- point d'intersection des médianes
- partage chaque médiane dans le rapport 2:1 depuis le sommet
- \(\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})\)
Exemple : centre de gravité du triangle \(A(0,0), B(6,0), C(3,6)\):
\(G = \left(\frac{0+6+3}{3}, \frac{0+0+6}{3}\right) = (3, 2)\)
📝 Techniques de démonstration avec les vecteurs
| démontrer | méthode |
|---|---|
| droites parallèles | \(\vec{u} = k\vec{v}\) |
| droites perpendiculaires | \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) |
| points alignés | \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\) |
| parallélogramme | \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) |
| segments égaux | \(|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}|\) |
✏️ Démonstration 1 : théorème des milieux dans un triangle
Théorème : le segment qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté et de longueur moitié.
Démonstration : dans le triangle ABC, M est le milieu de AB, N est le milieu de AC.
\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}\)
\(= -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
\(= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})\)
\(= \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
Conclusion : \(\overrightarrow{MN} \parallel \overrightarrow{BC}\) y \(|MN| = \frac{1}{2}|BC|\) ✓
✏️ Démonstration 2 : les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu
Théorème : les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
Démonstration : dans le parallélogramme ABCD, soit M = milieu de AC.
dans un parallélogramme : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)
milieu de AC : \(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC})\)
milieu de BD : \(\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD})\)
comme \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\) (dans le parallélogramme)
on obtient : \(M = N\)
Conclusion : les diagonales se coupent en leur milieu ! ✓
✏️ Exemple de synthèse
Question : soit le quadrilatère ABCD avec \(A(0,0), B(4,2), C(6,6), D(2,4)\).
démontrer que c'est un parallélogramme.
Solution :
\(\overrightarrow{AB} = (4-0, 2-0) = (4, 2)\)
\(\overrightarrow{DC} = (6-2, 6-4) = (4, 2)\)
comme \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), les côtés AB et DC sont parallèles et égaux !
\(\overrightarrow{AD} = (2, 4)\)
\(\overrightarrow{BC} = (6-4, 6-2) = (2, 4)\)
comme \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\), AD et BC sont aussi parallèles et égaux !
Conclusion : ABCD est un parallélogramme ✓
📋 Tableau récapitulatif - formules
| sujet | formule |
|---|---|
| milieu | \(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\) |
| partage dans le rapport m:n | \(P = \left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n}, \frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\) |
| centre de gravité | \(G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\) |
💡 Conseils pour l'examen
Milieu : moyenne des coordonnées
Parallélogramme : AB = DC
Démonstrations : utiliser les formules !
📝 Résumé Partie 5
\(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
parallélogramme : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)
🎉 fin du chapitre vecteurs géométriques !