几何向量 - 第五部分
应用:中点、线段分点与几何证明
📍 线段的中点
线段 AB 的中点 M,其中 \(A(x_1, y_1)\) 与 \(B(x_2, y_2)\):
\(M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\)
💡 用向量表示:
\(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})\)
例:当 \(A(2, 5)\) 与 \(B(8, -1)\) 时,求线段 AB 的中点:
\(M = \left(\frac{2+8}{2}, \frac{5+(-1)}{2}\right) = (5, 2)\)
📐 线段的定比分点
点 P 把线段 AB 按比例 \(m:n\) 分割(从 A 起):
\(P = \left(\frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m+n}, \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m+n}\right)\)
💡 用向量表示:
\(\overrightarrow{OP} = \frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA} + \frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}\)
✏️ 例:求线段 AB 上将之按 2:3 分割的点 P(从 A 起)。
已知:\(A(1, 4)\),\(B(6, -1)\),\(m=2, n=3\)
\(x_P = \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 6}{5} = \frac{15}{5} = 3\)
\(y_P = \frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot (-1)}{5} = \frac{10}{5} = 2\)
\(P = (3, 2)\)
⚖️ 三角形的重心
三角形 ABC 的重心 G:
\(G = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)\)
💡 性质:
- 三条中线的交点
- 把每条中线按 2:1 分割(从顶点起)
- \(\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})\)
例:三角形 \(A(0,0), B(6,0), C(3,6)\) 的重心:
\(G = \left(\frac{0+6+3}{3}, \frac{0+0+6}{3}\right) = (3, 2)\)
📝 用向量证明的技巧
| 证明 | 方法 |
|---|---|
| 直线平行 | \(\vec{u} = k\vec{v}\) |
| 直线垂直 | \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) |
| 三点共线 | \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\) |
| 平行四边形 | \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) |
| 线段相等 | \(|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}|\) |
✏️ 证明 1:三角形中位线定理
定理:连接三角形两边中点的线段平行于第三边,且等于第三边的一半。
证明:在三角形 ABC 中,M 为 AB 的中点,N 为 AC 的中点。
\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}\)
\(= -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
\(= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})\)
\(= \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
结论:\(\overrightarrow{MN} \parallel \overrightarrow{BC}\) 且 \(|MN| = \frac{1}{2}|BC|\) ✓
✏️ 证明 2:平行四边形对角线互相平分
定理:平行四边形的对角线互相平分。
证明:在平行四边形 ABCD 中,设 M = AC 的中点。
在平行四边形中:\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)
AC 的中点:\(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC})\)
BD 的中点:\(\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD})\)
由于在平行四边形中:\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\)
得:\(M = N\)
结论:对角线在中点相交! ✓
✏️ 综合例题
问题:已知四边形 ABCD,顶点为 \(A(0,0), B(4,2), C(6,6), D(2,4)\)。
证明该四边形是平行四边形。
解答:
\(\overrightarrow{AB} = (4-0, 2-0) = (4, 2)\)
\(\overrightarrow{DC} = (6-2, 6-4) = (4, 2)\)
由于 \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\),边 AB 与 DC 平行且相等!
\(\overrightarrow{AD} = (2, 4)\)
\(\overrightarrow{BC} = (6-4, 6-2) = (2, 4)\)
由于 \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\),AD 与 BC 也平行且相等!
结论:ABCD 是平行四边形 ✓
📋 总结表 - 公式
| 主题 | 公式 |
|---|---|
| 中点 | \(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\) |
| 按 m:n 分点 | \(P = \left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n}, \frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\) |
| 重心 | \(G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\) |
💡 考试提示
中点:坐标的平均值
平行四边形:AB = DC
证明:使用公式!
📝 第五部分总结
\(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
平行四边形:\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)
🎉 几何向量主题完结!