المتجهات الهندسية – الجزء الخامس

المتجهات الهندسية – الجزء الخامس

التطبيقات: نقطة المنتصف، تقسيم القطعة والبراهين الهندسية

📍 نقطة منتصف قطعة مستقيمة

نقطة المنتصف M للقطعة AB حيث \(A(x_1, y_1)\) و\(B(x_2, y_2)\):

\(M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\)

💡 باستخدام المتجهات:

\(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})\)

مثال: أوجد منتصف القطعة AB حيث \(A(2, 5)\) و\(B(8, -1)\):

\(M = \left(\frac{2+8}{2}, \frac{5+(-1)}{2}\right) = (5, 2)\)

📐 تقسيم القطعة بنسبة معطاة

النقطة P التي تقسّم AB بنسبة \(m:n\) (من A):

\(P = \left(\frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m+n}, \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m+n}\right)\)

ABPmn

💡 باستخدام المتجهات:

\(\overrightarrow{OP} = \frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA} + \frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}\)

✏️ مثال: أوجد النقطة P على AB التي تقسّمها بنسبة 2:3 من A.

معطى: \(A(1, 4)\), \(B(6, -1)\), \(m=2, n=3\)

\(x_P = \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 6}{5} = \frac{15}{5} = 3\)

\(y_P = \frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot (-1)}{5} = \frac{10}{5} = 2\)

\(P = (3, 2)\)

⚖️ مركز ثقل المثلث

مركز ثقل G للمثلث ABC:

\(G = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)\)

💡 الخصائص:

  • نقطة تقاطع الأوسط
  • يقسّم كل وسيط بنسبة 2:1 من الرأس
  • \(\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})\)

مثال: مركز ثقل المثلث \(A(0,0), B(6,0), C(3,6)\):

\(G = \left(\frac{0+6+3}{3}, \frac{0+0+6}{3}\right) = (3, 2)\)

📝 تقنيات البرهان باستخدام المتجهات

ما يُبرهنالطريقة
خطوط متوازية\(\vec{u} = k\vec{v}\)
خطوط متعامدة\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
نقاط على خط واحد\(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\)
متوازي أضلاع\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)
قطع متساوية\(|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}|\)

✏️ برهان 1: قطعة أوساط المثلث

المبرهنة: القطعة التي تصل منتصفي ضلعين في مثلث تكون موازية للضلع الثالث ومساوية لنصفه.

البرهان: في المثلث ABC، M منتصف AB، N منتصف AC.

\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}\)

\(= -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})\)

\(= \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)

الاستنتاج: \(\overrightarrow{MN} \parallel \overrightarrow{BC}\) و\(|MN| = \frac{1}{2}|BC|\) ✓

✏️ برهان 2: قطريا متوازي الأضلاع ينصف كلٌّ منهما الآخر

المبرهنة: قطريا متوازي الأضلاع ينصف كلٌّ منهما الآخر.

البرهان: في متوازي الأضلاع ABCD، نرمز M = منتصف AC.

في متوازي الأضلاع: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)

منتصف AC: \(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC})\)

منتصف BD: \(\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD})\)

بما أن \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\) (في متوازي الأضلاع)

نحصل: \(M = N\)

الاستنتاج: القطريان يتقاطعان عند منتصفيهما! ✓

✏️ مثال شامل

المسألة: رباعي ABCD حيث \(A(0,0), B(4,2), C(6,6), D(2,4)\).

برهن أن الرباعي متوازي أضلاع.

الحل:

\(\overrightarrow{AB} = (4-0, 2-0) = (4, 2)\)

\(\overrightarrow{DC} = (6-2, 6-4) = (4, 2)\)

بما أن \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)، الضلعان AB وDC متوازيان ومتساويان!

\(\overrightarrow{AD} = (2, 4)\)

\(\overrightarrow{BC} = (6-4, 6-2) = (2, 4)\)

بما أن \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\)، فإن AD وBC متوازيان ومتساويان أيضاً!

الاستنتاج: ABCD متوازي أضلاع ✓

📋 جدول ملخص – الصيغ

الموضوعالصيغة
نقطة المنتصف\(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
التقسيم بنسبة m:n\(P = \left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n}, \frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\)
مركز الثقل\(G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\)

💡 نصائح للاختبار

المنتصف: متوسط الإحداثيات

متوازي الأضلاع: AB = DC

البراهين: استخدم الصيغ!

📝 ملخص الجزء الخامس

\(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)

متوازي الأضلاع: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)

🎉 نهاية موضوع المتجهات الهندسية!