Podemos imaginar una función como una máquina: introducimos un valor de entrada (\(x\)) y obtenemos exactamente un valor de salida (\(y\)). Este es el punto clave: a cada entrada le corresponde una única salida.

Definición precisa: una función es una correspondencia de un conjunto (dominio) a otro conjunto (recorrido) en la que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del recorrido. Notación habitual: \(y=f(x)\), donde \(x\) es la variable independiente e \(y\) es la variable dependiente.

• Permitido: dos entradas distintas pueden dar la misma salida (por ejemplo \(f(2)=5\) y también \(f(3)=5\)).
• Prohibido: una entrada que produzca dos salidas distintas (por ejemplo \(f(2)=5\) y al mismo tiempo \(f(2)=7\)).

Prueba de la recta vertical: una gráfica representa una función si y solo si toda recta vertical (paralela al eje \(y\)) la corta en, como mucho, un punto. La idea es simple: una recta vertical corresponde a un valor fijo de \(x\), y si toca la gráfica en dos puntos, significa que ese \(x\) tiene dos valores de \(y\) — lo que contradice la definición de función.

Lectura de la gráfica: para hallar \(f(a)\), localizamos \(x=a\) en el eje horizontal, subimos verticalmente hasta la gráfica y desde allí nos desplazamos horizontalmente hasta el eje \(y\). La altura obtenida es el valor de la función.

Atención: una función no tiene que ser continua. Una gráfica con «saltos» también puede ser función, siempre que supere la prueba de la recta vertical.

Ejemplo 1: Identificar una función a partir de pares ordenados

Enunciado: Dada la colección \(\{(2,5),\,(3,5),\,(2,8)\}\). ¿Representa una función?

Solución:

1. Verificamos si alguna entrada \(x\) se repite con salidas distintas.
2. El par \((2,5)\) indica \(f(2)=5\), pero el par \((2,8)\) indica \(f(2)=8\).
3. A la entrada \(x=2\) le corresponden dos salidas distintas, \(5\) y \(8\) — esto viola la condición de unicidad.
4. El hecho de que \(f(2)=5\) y también \(f(3)=5\) está permitido por sí solo (dos entradas con la misma salida), pero no salva la situación.

Respuesta: No, la colección no representa una función, porque a la entrada \(x=2\) le corresponden dos valores de \(y\) distintos.

Ejemplo 2: Prueba de la recta vertical sobre una recta oblicua

Enunciado: ¿Representa la ecuación \(y=3x-2\) una función de \(x\)?

Solución:

1. La ecuación describe una recta oblicua (pendiente \(3\), intersección con el eje \(y\) en \(-2\)).
2. Para cada valor de \(x\) que sustituyamos obtenemos un único valor de \(y\); por ejemplo \(x=1\) da \(y=3\cdot 1-2=1\).
3. Prueba de la recta vertical: toda recta vertical corta a una recta oblicua en exactamente un punto.
4. Por tanto, la condición de unicidad se cumple.

Respuesta: Sí, \(y=3x-2\) representa una función de \(x\).

Ejemplo 3: Función constante

Enunciado: ¿Representa \(y=4\) una función de \(x\)?

Solución:

1. La ecuación \(y=4\) describe una recta horizontal de altura \(4\).
2. Para cualquier valor de \(x\) que elijamos, la salida siempre es \(y=4\) — una única salida bien definida.
3. Prueba de la recta vertical: toda recta vertical corta a la recta horizontal exactamente en un punto.
4. Esta es una función constante: \(f(x)=4\) para todo \(x\).

Respuesta: Sí, \(y=4\) es una función (función constante).

Ejemplo 4: Leer el valor de la función desde una tabla

Enunciado: Dada la tabla: a \(x=-1\) le corresponde \(y=4\); a \(x=0\) le corresponde \(y=1\); a \(x=2\) le corresponde \(y=5\). ¿Cuánto vale \(f(2)\)?

Solución:

1. Buscamos el valor de salida correspondiente a la entrada \(x=2\).
2. Localizamos en la tabla la fila en que \(x=2\).
3. En esa fila aparece \(y=5\).
4. Por tanto \(f(2)=5\).

Respuesta: \(f(2)=5\).

Ejemplo 5: Circunferencia: cuándo una correspondencia no es función

Enunciado: ¿Representa la ecuación \(x^2+y^2=25\) (circunferencia de radio \(5\)) a \(y\) como función de \(x\)?

Solución:

1. Despejamos \(y\): \(y^2=25-x^2\), de donde \(y=\pm\sqrt{25-x^2}\).
2. Tomemos \(x=3\): se obtiene \(y=\sqrt{16}=4\) y también \(y=-4\).
3. A una única entrada \((x=3)\) le corresponden dos salidas — la condición de unicidad queda violada.
4. La prueba de la recta vertical lo confirma: una recta vertical por el centro de la circunferencia la corta en dos puntos.

Respuesta: No, la circunferencia no representa a \(y\) como función de \(x\).

✗ Error común: Los estudiantes creen que si una salida es producida por varias entradas distintas, entonces no es una función.

✓ La forma correcta: La restricción actúa solo en un sentido: una única entrada no puede dar varias salidas. Pero está perfectamente permitido que dos entradas distintas produzcan la misma salida. Por ejemplo, \(f(x)=x^2\) cumple \(f(2)=f(-2)=4\) — y sigue siendo una función válida.

✗ Error común: Se piensa que una gráfica con un salto o una discontinuidad no puede ser una función.

✓ La forma correcta: La continuidad no es condición para ser función. Una gráfica discontinua también puede ser función siempre que supere la prueba de la recta vertical — es decir, que cada \(x\) produzca como máximo un valor de \(y\).

✗ Error común: Al leer un valor en la gráfica se confunden los ejes y se lee \(x\) en lugar de \(y\).

✓ La forma correcta: Para hallar \(f(a)\): se parte de \(x=a\) en el eje horizontal, se sube verticalmente hasta la gráfica y luego se va horizontalmente hasta el eje \(y\). El valor leído en el eje \(y\) es la salida.

• Función: a cada entrada \(x\) le corresponde una única salida \(y=f(x)\).
• Prueba de la recta vertical: una gráfica es función si toda recta vertical la corta en como máximo un punto.
• Está permitido que dos \(x\) distintos den el mismo \(y\); está prohibido que un único \(x\) dé dos \(y\) distintos.
• Una función no tiene que ser continua.
• Leer \(f(a)\): desde \(x=a\) se sube hasta la gráfica y se pasa al eje \(y\).