يمكن التفكير في الدالة كآلة: ندخل إليها قيمة مدخل واحدة (\(x\))، ونحصل على قيمة مخرج واحدة بالضبط (\(y\)). هذه هي النقطة الحاسمة: لكل مدخل مخرج وحيد.

التعريف الدقيق: الدالة هي تطابق من مجموعة (مجال التعريف) إلى مجموعة أخرى (المدى)، بحيث يقابَل كل عنصر في مجال التعريف بعنصر واحد فقط في المدى. الرمز المعتاد: \(y=f(x)\)، حيث \(x\) هو المتغير المستقل و-\(y\) هو المتغير التابع.

• مسموح: أن يُفضي مدخلان مختلفان إلى نفس المخرج (مثلاً \(f(2)=5\) وكذلك \(f(3)=5\)).
• غير مسموح: أن يُفضي مدخل واحد إلى مخرجين مختلفين (مثلاً \(f(2)=5\) وكذلك \(f(2)=7\)).

اختبار الخط العمودي: يمثّل البيانُ دالةً إذا وفقط إذا قاطع كلُّ خط عمودي (موازٍ لمحور \(y\)) البيانَ في نقطة واحدة على الأكثر. الفكرة بسيطة: الخط العمودي يتوافق مع قيمة \(x\) ثابتة، وإذا التقى بالبيان في نقطتين فهذا يعني أن لنفس \(x\) قيمتَين لـ\(y\) — وهذا يتناقض مع تعريف الدالة.

قراءة البيان: لإيجاد \(f(a)\)، نحدد \(x=a\) على المحور الأفقي، ونرتفع عمودياً حتى البيان، ثم ننتقل أفقياً إلى محور \(y\). الارتفاع الذي نحصل عليه هو قيمة الدالة.

لاحظوا: الدالة لا يُشترط أن تكون متصلة. حتى بيان تتخلله "قفزات" يمكن أن يكون دالة، طالما يجتاز اختبار الخط العمودي.

مثال 1: التعرف على الدالة من مجموعة أزواج مرتبة

السؤال: المجموعة \(\{(2,5),\,(3,5),\,(2,8)\}\) معطاة. هل تمثّل دالة؟

الحل:

1. نتحقق من وجود مدخل \(x\) يتكرر مع مخرجات مختلفة.
2. الزوج \((2,5)\) يعني \(f(2)=5\)، لكن الزوج \((2,8)\) يعني \(f(2)=8\).
3. للمدخل \(x=2\) خُصّص مخرجان مختلفان، \(5\) و\(8\) — وهذا انتهاك لشرط الوحدانية.
4. حقيقة أن \(f(2)=5\) وأن \(f(3)=5\) في حد ذاتها مسموح بها (مدخلان لنفس المخرج)، لكنها لا تُنقذ الموقف.

الإجابة: لا، المجموعة لا تمثّل دالة، لأن للمدخل \(x=2\) قيمتَين مختلفتَين لـ\(y\).

مثال 2: اختبار الخط العمودي على مستقيم مائل

السؤال: هل تمثّل المعادلة \(y=3x-2\) دالة في \(x\)؟

الحل:

1. المعادلة تصف مستقيماً مائلاً (ميل \(3\)، يقطع محور \(y\) عند \(-2\)).
2. لكل قيمة \(x\) نعوّضها نحصل على قيمة \(y\) واحدة؛ مثلاً \(x=1\) يعطي \(y=3\cdot 1-2=1\).
3. اختبار الخط العمودي: كل خط عمودي يقطع المستقيم في نقطة واحدة فقط.
4. إذن شرط الوحدانية محقق.

الإجابة: نعم، \(y=3x-2\) تمثّل دالة في \(x\).

مثال 3: الدالة الثابتة

السؤال: هل تمثّل \(y=4\) دالة في \(x\)؟

الحل:

1. المعادلة \(y=4\) تصف خطاً أفقياً على الارتفاع \(4\).
2. لكل قيمة \(x\) نختارها، المخرج دائماً \(y=4\) — مخرج واحد محدد.
3. اختبار الخط العمودي: كل خط عمودي يلتقي بالخط الأفقي في نقطة واحدة بالضبط.
4. هذه دالة ثابتة: \(f(x)=4\) لكل \(x\).

الإجابة: نعم، \(y=4\) هي دالة (دالة ثابتة).

مثال 4: قراءة قيمة الدالة من الجدول

السؤال: الجدول المعطى: \(x=-1\) يقابل \(y=4\)؛ و\(x=0\) يقابل \(y=1\)؛ و\(x=2\) يقابل \(y=5\). ما قيمة \(f(2)\)؟

الحل:

1. نبحث عن قيمة المخرج المقابلة للمدخل \(x=2\).
2. نحدد في الجدول الصف الذي فيه \(x=2\).
3. في هذا الصف مكتوب \(y=5\).
4. إذن \(f(2)=5\).

الإجابة: \(f(2)=5\).

مثال 5: الدائرة — متى لا تكون الارتباطية دالة

السؤال: هل تمثّل المعادلة \(x^2+y^2=25\) (دائرة نصف قطرها \(5\)) الـ\(y\) كدالة في \(x\)؟

الحل:

1. نعزل \(y\): \(y^2=25-x^2\)، ومنها \(y=\pm\sqrt{25-x^2}\).
2. نأخذ مثلاً \(x=3\): ينتج \(y=\sqrt{16}=4\) وأيضاً \(y=-4\).
3. لمدخل واحد \((x=3)\) خُصّص مخرجان — انتُهك شرط الوحدانية.
4. اختبار الخط العمودي يؤكد ذلك: خط عمودي يمر عبر مركز الدائرة يقطعها في نقطتين.

الإجابة: لا، الدائرة لا تمثّل \(y\) كدالة في \(x\).

✗ خطأ شائع: يظن الطلاب أنه إذا كان مخرج واحد ناتجاً عن عدة مدخلات مختلفة فهذا ليس دالة.

✓ الطريقة الصحيحة: القيد في اتجاه واحد فقط: مدخل واحد لا يجوز أن يُعطي عدة مخرجات. لكن مسموح تماماً أن يُفضي مدخلان مختلفان إلى نفس المخرج. مثلاً \(f(x)=x^2\) تحقق \(f(2)=f(-2)=4\) — وهي دالة صحيحة.

✗ خطأ شائع: الاعتقاد بأن البيان الذي فيه قفزة أو كسر لا يمكن أن يكون دالة.

✓ الطريقة الصحيحة: الاتصال ليس شرطاً للدالة. حتى البيان المتقطع يمكن أن يكون دالة طالما يجتاز اختبار الخط العمودي — أي أن كل \(x\) يعطي قيمة \(y\) واحدة على الأكثر.

✗ خطأ شائع: عند قراءة قيمة من البيان، الخلط بين المحورين وقراءة \(x\) بدلاً من \(y\).

✓ الطريقة الصحيحة: لإيجاد \(f(a)\): نبدأ من \(x=a\) على المحور الأفقي، ونرتفع عمودياً حتى البيان، ثم ننتقل أفقياً إلى محور \(y\). القيمة التي نقرأها على محور \(y\) هي المخرج.

• الدالة: لكل مدخل \(x\) مخرج وحيد \(y=f(x)\).
• اختبار الخط العمودي: البيان دالة إذا قاطع كل خط عمودي البيانَ في نقطة واحدة على الأكثر.
• مسموح أن يُعطي \(x\)-ان مختلفان نفس \(y\)؛ ممنوع أن يُعطي \(x\) واحد قيمتَين لـ\(y\).
• الدالة لا يُشترط أن تكون متصلة.
• قراءة \(f(a)\): من \(x=a\) نرتفع إلى البيان ثم ننتقل إلى محور \(y\).