On peut imaginer une fonction comme une machine : on lui fournit une valeur d'entrée (\(x\)), et elle renvoie exactement une valeur de sortie (\(y\)). C'est le point crucial : à chaque entrée correspond une unique sortie.

Définition précise : une fonction est une correspondance d'un ensemble (domaine de définition) vers un autre ensemble (ensemble image), où chaque élément du domaine est associé à un unique élément de l'image. Notation habituelle : \(y=f(x)\), où \(x\) est la variable indépendante et \(y\) la variable dépendante.

• Autorisé : deux entrées différentes peuvent donner la même sortie (par exemple \(f(2)=5\) et \(f(3)=5\)).
• Interdit : une entrée unique donnant deux sorties différentes (par exemple \(f(2)=5\) et \(f(2)=7\)).

Test de la droite verticale : un graphe représente une fonction si et seulement si toute droite verticale (parallèle à l'axe des \(y\)) le coupe en au plus un point. L'idée est simple : une droite verticale correspond à une valeur fixe de \(x\) ; si elle rencontre le graphe en deux points, c'est qu'à ce même \(x\) correspondent deux valeurs de \(y\) — ce qui contredit la définition de la fonction.

Lecture d'un graphe : pour trouver \(f(a)\), on repère \(x=a\) sur l'axe horizontal, on monte verticalement jusqu'au graphe, puis on se déplace horizontalement vers l'axe des \(y\). La hauteur obtenue est la valeur de la fonction.

Remarque : une fonction n'a pas besoin d'être continue. Un graphe comportant des "sauts" peut tout à fait être une fonction, tant qu'il satisfait le test de la verticale.

Exemple 1 : Identification d'une fonction à partir de paires ordonnées

Énoncé : Soit l'ensemble \(\{(2,5),\,(3,5),\,(2,8)\}\). Représente-t-il une fonction ?

Solution :

1. On vérifie s'il existe une entrée \(x\) qui se répète avec des sorties différentes.
2. La paire \((2,5)\) indique \(f(2)=5\), mais la paire \((2,8)\) indique \(f(2)=8\).
3. À l'entrée \(x=2\) sont associées deux sorties différentes, \(5\) et \(8\) — la condition d'unicité est violée.
4. Le fait que \(f(2)=5\) et \(f(3)=5\) est en soi autorisé (deux entrées pour la même sortie), mais cela ne sauve pas la situation.

Réponse : Non, l'ensemble ne représente pas une fonction, car à l'entrée \(x=2\) sont associées deux valeurs de \(y\) différentes.

Exemple 2 : Test de la verticale sur une droite oblique

Énoncé : L'équation \(y=3x-2\) représente-t-elle une fonction de \(x\) ?

Solution :

1. L'équation décrit une droite oblique (pente \(3\), ordonnée à l'origine \(-2\)).
2. Pour toute valeur de \(x\) substituée, on obtient une unique valeur de \(y\) ; par exemple \(x=1\) donne \(y=3\cdot 1-2=1\).
3. Test de la droite verticale : toute droite verticale coupe une droite oblique en un seul point.
4. La condition d'unicité est donc satisfaite.

Réponse : Oui, \(y=3x-2\) représente une fonction de \(x\).

Exemple 3 : Fonction constante

Énoncé : L'équation \(y=4\) représente-t-elle une fonction de \(x\) ?

Solution :

1. L'équation \(y=4\) décrit une droite horizontale à hauteur \(4\).
2. Pour toute valeur de \(x\) choisie, la sortie est toujours \(y=4\) — une sortie unique et bien définie.
3. Test de la droite verticale : toute droite verticale coupe la droite horizontale en exactement un point.
4. Il s'agit d'une fonction constante : \(f(x)=4\) pour tout \(x\).

Réponse : Oui, \(y=4\) est une fonction (fonction constante).

Exemple 4 : Lecture d'une valeur de fonction dans un tableau

Énoncé : Tableau donné : \(x=-1\) associé à \(y=4\) ; \(x=0\) associé à \(y=1\) ; \(x=2\) associé à \(y=5\). Quelle est la valeur de \(f(2)\) ?

Solution :

1. On cherche la valeur de sortie correspondant à l'entrée \(x=2\).
2. On localise dans le tableau la ligne où \(x=2\).
3. Dans cette ligne, on lit \(y=5\).
4. Donc \(f(2)=5\).

Réponse : \(f(2)=5\).

Exemple 5 : Cercle — quand une relation n'est pas une fonction

Énoncé : L'équation \(x^2+y^2=25\) (cercle de rayon \(5\)) représente-t-elle \(y\) comme fonction de \(x\) ?

Solution :

1. On isole \(y\) : \(y^2=25-x^2\), d'où \(y=\pm\sqrt{25-x^2}\).
2. Prenons par exemple \(x=3\) : on obtient \(y=\sqrt{16}=4\) et aussi \(y=-4\).
3. À une seule entrée \((x=3)\) correspondent deux sorties — la condition d'unicité est violée.
4. Le test de la droite verticale le confirme : une droite verticale passant par le centre du cercle le coupe en deux points.

Réponse : Non, le cercle ne représente pas \(y\) comme fonction de \(x\).

✗ Erreur fréquente : Les élèves pensent que si une même sortie est obtenue par plusieurs entrées différentes, ce n'est pas une fonction.

✓ La bonne méthode : La restriction ne joue que dans un sens : une entrée unique ne peut pas donner plusieurs sorties. Mais il est tout à fait permis que deux entrées différentes mènent à la même sortie. Par exemple \(f(x)=x^2\) vérifie \(f(2)=f(-2)=4\) — c'est bien une fonction.

✗ Erreur fréquente : On croit qu'un graphe avec un saut ou une rupture ne peut pas être une fonction.

✓ La bonne méthode : La continuité n'est pas une condition pour être une fonction. Un graphe discontinu peut être une fonction tant qu'il satisfait le test de la droite verticale — c'est-à-dire que tout \(x\) donne au plus une valeur de \(y\).

✗ Erreur fréquente : Lors de la lecture d'une valeur sur un graphe, on confond les axes et on lit \(x\) à la place de \(y\).

✓ La bonne méthode : Pour trouver \(f(a)\) : on part de \(x=a\) sur l'axe horizontal, on monte verticalement jusqu'au graphe, puis on se déplace horizontalement vers l'axe des \(y\). La valeur lue sur l'axe des \(y\) est la sortie.

• Fonction : à chaque entrée \(x\) correspond une unique sortie \(y=f(x)\).
• Test de la droite verticale : un graphe est une fonction si toute droite verticale le coupe en au plus un point.
• Il est permis que deux \(x\) différents donnent le même \(y\) ; il est interdit qu'un seul \(x\) donne deux \(y\).
• Une fonction n'a pas besoin d'être continue.
• Lecture de \(f(a)\) : depuis \(x=a\), monter au graphe puis aller vers l'axe des \(y\).