La relación central en todos los problemas de movimiento es:

donde \(v\) es la velocidad, \(d\) la distancia y \(t\) el tiempo. De la fórmula se derivan dos versiones útiles:

• Distancia: \( d = v \cdot t \)
• Tiempo: \( t = \frac{d}{v} \)

Conversión de unidades de tiempo es una fuente frecuente de errores: hay que convertir los minutos a horas antes de sustituir. Por ejemplo, \(30\) minutos equivalen a \(0.5\) horas, \(45\) minutos a \(0.75\) horas y una hora y cuarto es \(1.25\) horas.

Problemas de encuentro (en sentido contrario): cuando dos cuerpos se mueven el uno hacia el otro, la distancia entre ellos disminuye a razón de la suma de las velocidades (velocidad de acercamiento). El tiempo de encuentro = la distancia inicial dividida entre la suma de velocidades.

Problemas de adelantamiento (mismo sentido): aquí la brecha se cierra a razón de la diferencia de velocidades.

Velocidad media no es la media aritmética de las velocidades, sino:

Ejemplo 1: Cálculo básico de velocidad

Enunciado: Un autobús recorrió \(150\) km en dos horas y media. ¿Cuál fue su velocidad media en km/h?

Solución:

1. Convertimos el tiempo a horas: dos horas y media son \( 2.5 \) horas.
2. Usamos la fórmula \( v = \frac{d}{t} = \frac{150}{2.5} \).
3. Calculamos: \( \frac{150}{2.5} = 60 \).

Respuesta: La velocidad media fue \( 60 \) km/h.

Ejemplo 2: Hallar el tiempo con conversión de unidades

Enunciado: Un ciclista recorrió \(18\) km a una velocidad de \(24\) km/h. ¿Cuánto duró el viaje (en minutos)?

Solución:

1. Usamos \( t = \frac{d}{v} = \frac{18}{24} \).
2. Calculamos: \( \frac{18}{24} = 0.75 \) horas.
3. Convertimos a minutos: \( 0.75 \times 60 = 45 \) minutos.

Respuesta: El viaje duró \( 45 \) minutos.

Ejemplo 3: Problema de encuentro

Enunciado: Dos ciudades están a \(120\) km de distancia. Desde la ciudad \(A\) sale un vehículo a \(60\) km/h y al mismo tiempo sale otro desde la ciudad \(B\) hacia él a \(40\) km/h. ¿Cuándo se encontrarán y a qué distancia de \(A\)?

Solución:

1. Los vehículos se mueven en sentido contrario, por lo que la velocidad de acercamiento es la suma: \( 60 + 40 = 100 \) km/h.
2. Tiempo de encuentro: \( t = \frac{120}{100} = 1.2 \) horas.
3. La distancia desde \(A\) es la recorrida por el vehículo de \(A\): \( 60 \times 1.2 = 72 \) km.
4. Verificación: el vehículo de \(B\) recorrió \( 40 \times 1.2 = 48 \) km; juntos \( 72 + 48 = 120 \) km — exactamente la distancia.

Respuesta: Se encuentran tras \( 1.2 \) horas, a \( 72 \) km de \(A\).

Ejemplo 4: Velocidad media en un viaje de ida y vuelta

Enunciado: Fui al trabajo a \(40\) km/h y volví por el mismo camino a \(60\) km/h. ¿Cuál es la velocidad media del trayecto completo?

Solución:

1. Sea \( d \) la distancia en un sentido; la distancia total es \( 2d \).
2. Tiempo de ida: \( \frac{d}{40} \); tiempo de vuelta: \( \frac{d}{60} \). Tiempo total: \( \frac{d}{40} + \frac{d}{60} = \frac{3d+2d}{120} = \frac{5d}{120} = \frac{d}{24} \).
3. Velocidad media: \( \bar{v} = \frac{2d}{\,d/24\,} = 2d \cdot \frac{24}{d} = 48 \).
4. Observación: el resultado \(48\) es menor que la media aritmética \(50\), porque se pasó más tiempo a la velocidad menor.

Respuesta: La velocidad media es \( 48 \) km/h.

Ejemplo 5: Adelantamiento con salidas en momentos distintos

Enunciado: Un camión sale a \(50\) km/h. Una hora después, un automóvil parte por el mismo camino a \(75\) km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo (desde que salió el automóvil) alcanzará el automóvil al camión?

Solución:

1. En la hora previa a la salida del automóvil, el camión recorrió \( 50 \times 1 = 50 \) km — esa es la ventaja inicial.
2. Ambos se mueven en el mismo sentido, por lo que la brecha se cierra a razón de la diferencia de velocidades: \( 75 - 50 = 25 \) km/h.
3. Tiempo para cerrar la brecha: \( t = \frac{50}{25} = 2 \) horas.
4. Verificación: en dos horas el automóvil recorrió \( 75 \times 2 = 150 \) km; el camión recorrió \( 50 + 50 \times 2 = 150 \) km — se alcanzaron.

Respuesta: El automóvil alcanza al camión tras \( 2 \) horas.

✗ Error común: Se sustituyen los minutos en lugar de las horas, por ejemplo se calcula \( v = \frac{d}{30} \) cuando \(30\) son minutos.

✓ La forma correcta: La velocidad en km/h requiere el tiempo en horas. Convierte primero: \(30\) minutos \(= 0.5\) horas. Regla práctica: minutos divididos entre \(60\) da horas.

✗ Error común: Se calcula la velocidad media como promedio simple de las velocidades, por ejemplo \( \frac{40+60}{2}=50 \) en el viaje de ida y vuelta.

✓ La forma correcta: Velocidad media = distancia total entre tiempo total. Cuando las distancias son iguales pero las velocidades distintas, el resultado es menor que la media aritmética (aquí \(48\), no \(50\)).

✗ Error común: En el problema de encuentro se usa la diferencia de velocidades, y en el de adelantamiento la suma.

✓ La forma correcta: En sentidos contrarios \(\Rightarrow\) la distancia se cierra rápido → suma de velocidades. En el mismo sentido (adelantamiento) \(\Rightarrow\) la brecha se cierra despacio → diferencia de velocidades.

• Relación fundamental: \( v = \frac{d}{t} \), \( d = v t \), \( t = \frac{d}{v} \).
• Encuentro (sentidos contrarios): tiempo \( = \frac{\text{distancia}}{v_1 + v_2} \).
• Adelantamiento (mismo sentido): tiempo \( = \frac{\text{brecha}}{v_1 - v_2} \).
• Velocidad media \( = \frac{\text{distancia total}}{\text{tiempo total}} \) — no es promedio de velocidades.
• Convierte los minutos a horas antes de cualquier cálculo en km/h.