العلاقة المحورية في مسائل الحركة:

حيث \(v\) السرعة، و\(d\) المسافة، و\(t\) الزمن. من القانون تنشأ صيغتان مفيدتان:

• المسافة: \( d = v \cdot t \)
• الزمن: \( t = \frac{d}{v} \)

تحويل وحدات الزمن مصدر خطأ شائع: يجب تحويل الدقائق إلى ساعات قبل التعويض. مثلًا \(30\) دقيقة = \(0.5\) ساعة، \(45\) دقيقة = \(0.75\) ساعة، وساعة وربع = \(1.25\) ساعة.

مسائل التلاقي (وجهًا لوجه): حين يتحرك جسمان نحو بعضهما تتناقص المسافة بينهما بـمجموع السرعتين. زمن التلاقي = المسافة الابتدائية ÷ مجموع السرعتين.

مسائل التجاوز (الاتجاه ذاته): هنا تُغلق الفجوة بـفرق السرعتين.

السرعة المتوسطة ليست المتوسط الحسابي للسرعات بل:

مثال 1: حساب سرعة أساسي

السؤال: قطع حافلة \(150\) كم في ساعتين ونصف. ما متوسط سرعتها بكم/س؟

الحل:

1. نحوّل الزمن إلى ساعات: ساعتان ونصف = \( 2.5 \) ساعة.
2. نطبق القانون \( v = \frac{d}{t} = \frac{150}{2.5} \).
3. نحسب: \( \frac{150}{2.5} = 60 \).

الإجابة: متوسط السرعة \( 60 \) كم/س.

مثال 2: إيجاد الزمن مع تحويل الوحدات

السؤال: قطع دراج \(18\) كم بسرعة \(24\) كم/س. كم دامت الرحلة (بالدقائق)؟

الحل:

1. نطبق \( t = \frac{d}{v} = \frac{18}{24} \).
2. نحسب: \( \frac{18}{24} = 0.75 \) ساعة.
3. نحوّل إلى دقائق: \( 0.75 \times 60 = 45 \) دقيقة.

الإجابة: دامت الرحلة \( 45 \) دقيقة.

مثال 3: مسألة التلاقي

السؤال: مدينتان تبعدان \(120\) كم. تنطلق سيارة من \(A\) بسرعة \(60\) كم/س، وفي الوقت ذاته تنطلق سيارة من \(B\) نحوها بسرعة \(40\) كم/س. متى تتلاقيان، وعلى أي مسافة من \(A\)؟

الحل:

1. السيارتان تتحركان نحو بعضهما، فسرعة التقارب = المجموع: \( 60 + 40 = 100 \) كم/س.
2. زمن التلاقي: \( t = \frac{120}{100} = 1.2 \) ساعة.
3. المسافة من \(A\) = المسافة التي قطعتها سيارة \(A\): \( 60 \times 1.2 = 72 \) كم.
4. تحقق: سيارة \(B\) قطعت \( 40 \times 1.2 = 48 \) كم، والمجموع \( 72 + 48 = 120 \) كم — صحيح.

الإجابة: تتلاقيان بعد \( 1.2 \) ساعة، على مسافة \( 72 \) كم من \(A\).

مثال 4: السرعة المتوسطة ذهابًا وإيابًا

السؤال: ذهبت إلى العمل بسرعة \(40\) كم/س وعدت بالمسار ذاته بسرعة \(60\) كم/س. ما متوسط سرعة الرحلة كاملةً؟

الحل:

1. لنفترض المسافة في اتجاه واحد \( d \)؛ المسافة الكلية \( 2d \).
2. زمن الذهاب: \( \frac{d}{40} \)؛ زمن الإياب: \( \frac{d}{60} \). الزمن الكلي: \( \frac{d}{40} + \frac{d}{60} = \frac{3d+2d}{120} = \frac{5d}{120} = \frac{d}{24} \).
3. السرعة المتوسطة: \( \bar{v} = \frac{2d}{\,d/24\,} = 2d \cdot \frac{24}{d} = 48 \).
4. لاحظ: النتيجة \(48\) أقل من المتوسط الحسابي \(50\)، لأننا أمضينا وقتًا أطول بالسرعة الأبطأ.

الإجابة: متوسط السرعة \( 48 \) كم/س.

مثال 5: مسألة التجاوز بانطلاق في أوقات مختلفة

السؤال: تنطلق شاحنة بسرعة \(50\) كم/س. وبعد ساعة تنطلق سيارة خلفها بالمسار ذاته بسرعة \(75\) كم/س. بعد كم من الزمن (من انطلاق السيارة) تلحق بالشاحنة؟

الحل:

1. في الساعة السابقة لانطلاق السيارة قطعت الشاحنة \( 50 \times 1 = 50 \) كم — هذا هو الفارق الابتدائي.
2. كلاهما يسيران في الاتجاه ذاته، فتُغلق الفجوة بفرق السرعتين: \( 75 - 50 = 25 \) كم/س.
3. زمن الإغلاق: \( t = \frac{50}{25} = 2 \) ساعتان.
4. تحقق: في ساعتين قطعت السيارة \( 75 \times 2 = 150 \) كم؛ قطعت الشاحنة \( 50 + 50 \times 2 = 150 \) كم — تلاقتا.

الإجابة: تلحق السيارة بالشاحنة بعد \( 2 \) ساعتين.

✗ خطأ شائع: تعويض الدقائق بدلًا من الساعات، مثلًا حساب \( v = \frac{d}{30} \) بينما \(30\) هي دقائق.

✓ الطريقة الصحيحة: السرعة بكم/س تستلزم الزمن بالساعات. حوّل أولًا: \(30\) دقيقة \(= 0.5\) ساعة. القاعدة: الدقائق ÷ \(60\) تعطي الساعات.

✗ خطأ شائع: حساب السرعة المتوسطة كمتوسط حسابي بسيط للسرعتين، مثلًا \( \frac{40+60}{2}=50 \) للذهاب والإياب.

✓ الطريقة الصحيحة: السرعة المتوسطة = المسافة الكلية ÷ الزمن الكلي. حين تتساوى المسافتان لكن تختلف السرعتان، تكون النتيجة أقل من المتوسط الحسابي (هنا \(48\) لا \(50\)).

✗ خطأ شائع: في مسألة التلاقي استخدام فرق السرعتين، وفي التجاوز استخدام مجموعهما.

✓ الطريقة الصحيحة: وجهًا لوجه \(\Rightarrow\) المسافة تُغلق بسرعة، إذن مجموع السرعتين. الاتجاه ذاته (تجاوز) \(\Rightarrow\) الفجوة تُغلق ببطء، إذن فرق السرعتين.

• العلاقة الأساسية: \( v = \frac{d}{t} \)، \( d = v t \)، \( t = \frac{d}{v} \).
• التلاقي (وجهًا لوجه): الزمن \( = \frac{\text{المسافة}}{v_1 + v_2} \).
• التجاوز (الاتجاه ذاته): الزمن \( = \frac{\text{الفارق}}{v_1 - v_2} \).
• السرعة المتوسطة \( = \frac{\text{المسافة الكلية}}{\text{الزمن الكلي}} \) — ليست متوسط السرعتين.
• حوّل الدقائق إلى ساعات قبل أي حساب بكم/س.