La relation centrale dans tout problème de cinématique est :

où \(v\) est la vitesse, \(d\) la distance et \(t\) le temps. De cette formule découlent deux versions utiles :

• Distance : \( d = v \cdot t \)
• Temps : \( t = \frac{d}{v} \)

La conversion des unités de temps est une source d'erreurs fréquente : il faut convertir les minutes en heures avant de substituer. Par exemple \(30\) minutes = \(0{,}5\) heure, \(45\) minutes = \(0{,}75\) heure, et une heure et quart = \(1{,}25\) heure.

Problèmes de rencontre (l'un vers l'autre) : quand deux mobiles se déplacent l'un vers l'autre, la distance entre eux diminue à la somme des vitesses (vitesse de rapprochement). Temps de rencontre = distance initiale divisée par la somme des vitesses.

Problèmes de dépassement (même direction) : ici l'écart se comble à la différence des vitesses.

La vitesse moyenne n'est pas la moyenne arithmétique des vitesses, mais :

Exemple 1 : Calcul de vitesse de base

Énoncé : Un bus a parcouru \(150\) km en deux heures et demie. Quelle était sa vitesse moyenne en km/h ?

Solution :

1. Convertissons le temps en heures : deux heures et demie = \( 2{,}5 \) heures.
2. On utilise la formule \( v = \frac{d}{t} = \frac{150}{2{,}5} \).
3. On calcule : \( \frac{150}{2{,}5} = 60 \).

Réponse : La vitesse moyenne était \( 60 \) km/h.

Exemple 2 : Trouver le temps avec conversion d'unités

Énoncé : Un cycliste a parcouru \(18\) km à une vitesse de \(24\) km/h. Combien de temps a duré le trajet (en minutes) ?

Solution :

1. On utilise \( t = \frac{d}{v} = \frac{18}{24} \).
2. On calcule : \( \frac{18}{24} = 0{,}75 \) heure.
3. On convertit en minutes : \( 0{,}75 \times 60 = 45 \) minutes.

Réponse : Le trajet a duré \( 45 \) minutes.

Exemple 3 : Problème de rencontre

Énoncé : Deux villes sont distantes de \(120\) km. De la ville \(A\) part un véhicule à \(60\) km/h, et simultanément de la ville \(B\) part un autre véhicule à sa rencontre à \(40\) km/h. Au bout de combien de temps se rencontrent-ils, et à quelle distance de \(A\) ?

Solution :

1. Les véhicules se déplacent l'un vers l'autre, donc la vitesse de rapprochement est la somme : \( 60 + 40 = 100 \) km/h.
2. Temps de rencontre : \( t = \frac{120}{100} = 1{,}2 \) heure.
3. La distance depuis \(A\) est la distance parcourue par le véhicule de \(A\) : \( 60 \times 1{,}2 = 72 \) km.
4. Vérification : le véhicule de \(B\) a parcouru \( 40 \times 1{,}2 = 48 \) km, et ensemble \( 72 + 48 = 120 \) km — exactement la distance.

Réponse : Ils se rencontreront après \( 1{,}2 \) heure, à \( 72 \) km de \(A\).

Exemple 4 : Vitesse moyenne en aller-retour

Énoncé : Je suis allé au travail à \(40\) km/h et je suis revenu par le même trajet à \(60\) km/h. Quelle est la vitesse moyenne pour l'ensemble du trajet ?

Solution :

1. Supposons que la distance d'un sens est \( d \) ; la distance totale est \( 2d \).
2. Temps aller : \( \frac{d}{40} \) ; temps retour : \( \frac{d}{60} \). Temps total : \( \frac{d}{40} + \frac{d}{60} = \frac{3d+2d}{120} = \frac{5d}{120} = \frac{d}{24} \).
3. Vitesse moyenne : \( \bar{v} = \frac{2d}{\,d/24\,} = 2d \cdot \frac{24}{d} = 48 \).
4. Remarquons que \(48\) est inférieur à la moyenne arithmétique \(50\), car on a passé plus de temps à la vitesse la plus faible.

Réponse : La vitesse moyenne est \( 48 \) km/h.

Exemple 5 : Dépassement avec départs décalés

Énoncé : Un camion part à \(50\) km/h. Une heure plus tard, une voiture part dans la même direction à \(75\) km/h. Au bout de combien de temps (depuis le départ de la voiture) la voiture rattrapera-t-elle le camion ?

Solution :

1. Dans l'heure avant le départ de la voiture, le camion a parcouru \( 50 \times 1 = 50 \) km — c'est l'écart initial.
2. Les deux véhicules se déplacent dans la même direction, donc l'écart se comble à la différence de vitesses : \( 75 - 50 = 25 \) km/h.
3. Temps pour combler l'écart : \( t = \frac{50}{25} = 2 \) heures.
4. Vérification : en 2 heures la voiture parcourt \( 75 \times 2 = 150 \) km ; le camion parcourt \( 50 + 50 \times 2 = 150 \) km — ils se rejoignent.

Réponse : La voiture rattrapera le camion après \( 2 \) heures.

✗ Erreur fréquente : On substitue des minutes à la place d'heures, par exemple on calcule \( v = \frac{d}{30} \) quand \(30\) représente des minutes.

✓ La bonne méthode : La vitesse en km/h exige le temps en heures. Convertissez d'abord : \(30\) minutes \(= 0{,}5\) heure. Règle pratique : minutes divisées par \(60\) donnent des heures.

✗ Erreur fréquente : On calcule la vitesse moyenne comme une simple moyenne des vitesses, par exemple \( \frac{40+60}{2}=50 \) pour un aller-retour.

✓ La bonne méthode : Vitesse moyenne = distance totale divisée par temps total. Quand les distances sont égales mais les vitesses différentes, le résultat est inférieur à la moyenne arithmétique (ici \(48\), pas \(50\)).

✗ Erreur fréquente : Dans un problème de rencontre on utilise la différence des vitesses, et dans un dépassement la somme.

✓ La bonne méthode : L'un vers l'autre \(\Rightarrow\) la distance se réduit vite → somme des vitesses. Même direction (dépassement) \(\Rightarrow\) l'écart se réduit lentement → différence des vitesses.

• Relation fondamentale : \( v = \frac{d}{t} \), \( d = v t \), \( t = \frac{d}{v} \).
• Rencontre (l'un vers l'autre) : temps \( = \frac{\text{distance}}{v_1 + v_2} \).
• Dépassement (même direction) : temps \( = \frac{\text{écart}}{v_1 - v_2} \).
• Vitesse moyenne \( = \frac{\text{distance totale}}{\text{temps total}} \) — pas la moyenne des vitesses.
• Convertissez les minutes en heures avant tout calcul en km/h.