תרגול תחום הגדרה פונקציית שורש

💡 הסבר מפורט:

מהי פונקציית שורש? 📚
פונקציית שורש היא פונקציה מהצורה:
\(f(x) = \sqrt{g(x)}\)

כאשר g(x) הוא ביטוי כלשהו.

כלל תחום הגדרה ⭐
שורש מוגדר רק עבור מספרים אי-שליליים!

כלומר: הביטוי תחת השורש חייב להיות:
\(g(x) \geq 0\)

שלב 1: זיהוי הביטוי תחת השורש 🔍
במקרה שלנו:
הביטוי תחת השורש: x - 3

שלב 2: דרישת אי-שליליות 📐
צריך:
x - 3 ≥ 0

שלב 3: פתרון האי-שוויון 🔢
x - 3 ≥ 0
x ≥ 3

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \geq 3\)

או בסימון קטעים:
\([3, \infty)\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
√(3-3) = √0 = 0 ✓ מוגדר

ב-x = 4:
√(4-3) = √1 = 1 ✓ מוגדר

ב-x = 7:
√(7-3) = √4 = 2 ✓ מוגדר

ב-x = 2:
√(2-3) = √(-1) ✗ לא מוגדר!

ב-x = 0:
√(0-3) = √(-3) ✗ לא מוגדר!

טבלה 📊

ייצוג על ציר המספרים 📏

    ✗ לא מוגדר  |  ✓ מוגדר
    ────────────●════════════▶
                3            x

למה x = 3 כלול? 💭
כי √0 = 0 זה בסדר גמור!
השורש של 0 מוגדר היטב.
הבעיה רק עם מספרים שליליים.

🔍 מדוע התשובות האחרות שגויות?
• "x > 3": גם x = 3 מוגדר!
• "x ≠ 3": x = 3 דווקא מוגדר
• "כל המספרים": x < 3 לא מוגדרים

תשובה: x ≥ 3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הביטוי 🔍
תחת השורש: 2x + 6

שלב 2: דרישה 📐
2x + 6 ≥ 0

שלב 3: פתרון 🔢
2x + 6 ≥ 0
2x ≥ -6
x ≥ -3

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \geq -3\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = -3:
2(-3) + 6 = 0
√0 = 0 ✓

ב-x = 0:
2(0) + 6 = 6
√6 ≈ 2.45 ✓

ב-x = -2:
2(-2) + 6 = 2
√2 ≈ 1.41 ✓

ב-x = -4:
2(-4) + 6 = -2
√(-2) ✗ לא מוגדר!

טבלה 📊

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר  |  ✓ מוגדר
    ────────────●════════════▶
               -3            x

תשובה: x ≥ -3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: 5 - x

שלב 2: דרישה 📐
5 - x ≥ 0

שלב 3: פתרון 🔢
5 - x ≥ 0
5 ≥ x
או: x ≤ 5

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \leq 5\)

שים לב: כיוון האי-שוויון התהפך!
כי x עם מקדם שלילי

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 5:
5 - 5 = 0
√0 = 0 ✓

ב-x = 0:
5 - 0 = 5
√5 ≈ 2.24 ✓

ב-x = 3:
5 - 3 = 2
√2 ≈ 1.41 ✓

ב-x = 6:
5 - 6 = -1
√(-1) ✗ לא מוגדר!

ב-x = 10:
5 - 10 = -5
√(-5) ✗ לא מוגדר!

טבלה 📊

ייצוג על ציר 📏

      ✓ מוגדר    |  ✗ לא מוגדר
    ◀════════════●────────────
                 5            x

הערה חשובה ⚠️
כשיש -x (מינוס x), הכיוון מתהפך!
5 - x ≥ 0 → x ≤ 5
לא x ≥ 5!

תשובה: x ≤ 5

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² - 4
זוהי פרבולה!

שלב 2: דרישה 📐
x² - 4 ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
x² - 4 = x² - 2²
= (x - 2)(x + 2)

שלב 4: מציאת השורשים ✍️
(x - 2)(x + 2) = 0

• x - 2 = 0 → x = 2
• x + 2 = 0 → x = -2

השורשים: x = -2, x = 2

שלב 5: ניתוח הפרבולה 📊
זוהי פרבולה עם מקדם חיובי (1 > 0)
לכן היא "חיוכית" ∪

גרף הפרבולה y = x² - 4:

      y
      ▲
      │    חיובי  חיובי
    ──┼──✓───┬───✓──▶ x
      │      │
      -2     2
      
    ✓ חיובי: x ≤ -2 או x ≥ 2
    ✗ שלילי: -2 < x < 2

שלב 6: תחום ההגדרה 📝
הפרבולה חיובית כאשר:
\(x \leq -2\) או \(x \geq 2\)

בסימון: \((-\infty, -2] \cup [2, \infty)\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -2:
4 - 4 = 0 ✓

ב-x = 2:
4 - 4 = 0 ✓

ב-x = 0:
0 - 4 = -4 ✗

ב-x = 3:
9 - 4 = 5 ✓

ב-x = -3:
9 - 4 = 5 ✓

טבלה 📊

ייצוג על ציר 📏

    ✓ מוגדר | ✗ לא | ✓ מוגדר
    ◀═══════●───────●═══════▶
           -2      2        x

תשובה: x ≤ -2 או x ≥ 2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: 9 - x²
זוהי פרבולה הפוכה!

שלב 2: דרישה 📐
9 - x² ≥ 0

שלב 3: סידור מחדש 🔢
9 - x² ≥ 0
9 ≥ x²
x² ≤ 9

שלב 4: פירוק ✍️
9 - x² = -(x² - 9)
= -(x - 3)(x + 3)

שלב 5: מציאת השורשים 📝
9 - x² = 0
x² = 9
x = ±3

השורשים: x = -3, x = 3

שלב 6: ניתוח הפרבולה 📊
y = 9 - x² היא פרבולה הפוכה (מקדם של x² שלילי)

גרף הפרבולה y = 9 - x²:

מסקנה מהגרף: 🎯
הפרבולה חיובית (מעל ציר x) בין השורשים:
\(-3 \leq x \leq 3\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
9 - 0 = 9 ✓ חיובי

ב-x = 3:
9 - 9 = 0 ✓ חיובי (על הציר)

ב-x = -3:
9 - 9 = 0 ✓ חיובי (על הציר)

ב-x = 4:
9 - 16 = -7 ✗ שלילי

ב-x = -4:
9 - 16 = -7 ✗ שלילי

טבלה 📊

ייצוג על ציר המספרים 📏

  שלילי    חיובי    שלילי
    ✗   |    ✓    |   ✗
────────●═════════●────────▶
       -3         3        x

כלל חשוב ⭐
פרבולה הפוכה (-x²) חיובית בין השורשים!

תשובה: -3 ≤ x ≤ 3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² - 9
פרבולה רגילה (פונה כלפי מעלה)

שלב 2: דרישה 📐
x² - 9 ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
x² - 9 = (x - 3)(x + 3)

שלב 4: השורשים ✍️
x² - 9 = 0
x = ±3

השורשים: -3 ו-3

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -3       3       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ חיובי: x ≤ -3 או x ≥ 3
✗ שלילי: -3 < x < 3

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
הפרבולה חיובית מחוץ לשורשים:
\(x \leq -3\) או \(x \geq 3\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -3:
9 - 9 = 0 ✓

ב-x = 3:
9 - 9 = 0 ✓

ב-x = 0:
0 - 9 = -9 ✗

ב-x = 4:
16 - 9 = 7 ✓

ב-x = -4:
16 - 9 = 7 ✓

טבלה 📊

כלל חשוב ⭐
פרבולה רגילה (+x²) חיובית מחוץ לשורשים!

תשובה: x ≤ -3 או x ≥ 3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² + 5x + 6
טרינום ריבועי - פרבולה רגילה

שלב 2: דרישה 📐
x² + 5x + 6 ≥ 0

שלב 3: פירוק הטרינום 🔢
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = 6
• סכומם = 5

המספרים: 2 ו-3

x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

שלב 4: השורשים ✍️
(x + 2)(x + 3) = 0

• x + 2 = 0 → x = -2
• x + 3 = 0 → x = -3

השורשים: -3 ו--2

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -3      -2       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ חיובי: x ≤ -3 או x ≥ -2
✗ שלילי: -3 < x < -2

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
\(x \leq -3\) או \(x \geq -2\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -3:
9 - 15 + 6 = 0 ✓

ב-x = -2:
4 - 10 + 6 = 0 ✓

ב-x = -2.5:
6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 ✗

ב-x = 0:
0 + 0 + 6 = 6 ✓

ב-x = -5:
25 - 25 + 6 = 6 ✓

טבלה 📊

תשובה: x ≤ -3 או x ≥ -2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: -x² + 4x - 3
פרבולה הפוכה (מקדם x² שלילי)

שלב 2: דרישה 📐
-x² + 4x - 3 ≥ 0

שלב 3: הוצאת מינוס 🔢
-x² + 4x - 3 = -(x² - 4x + 3)

שלב 4: פירוק הטרינום ✍️
x² - 4x + 3

מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = 3
• סכומם = -4

המספרים: -1 ו--3

x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)

לכן:
-x² + 4x - 3 = -(x - 1)(x - 3)

שלב 5: השורשים 📝
-x² + 4x - 3 = 0
x² - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0

• x = 1
• x = 3

שלב 6: ניתוח על ציר המספרים 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────●═══════●────────▶
        1       3        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ חיובי: 1 ≤ x ≤ 3 (בין השורשים)
✗ שלילי: x < 1 או x > 3

שלב 7: תחום ההגדרה 🎯
הפרבולה ההפוכה חיובית בין השורשים:
\(1 \leq x \leq 3\)

שלב 8: בדיקות 🧪
ב-x = 1:
-1 + 4 - 3 = 0 ✓

ב-x = 3:
-9 + 12 - 3 = 0 ✓

ב-x = 2:
-4 + 8 - 3 = 1 ✓

ב-x = 0:
0 + 0 - 3 = -3 ✗

ב-x = 4:
-16 + 16 - 3 = -3 ✗

טבלה 📊

תשובה: 1 ≤ x ≤ 3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: 4x - 12
ביטוי לינארי (קו ישר)

שלב 2: דרישה 📐
4x - 12 ≥ 0

שלב 3: פתרון 🔢
4x - 12 ≥ 0
4x ≥ 12
x ≥ 3

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \geq 3\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
4(3) - 12 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 4:
4(4) - 12 = 4 ✓
√4 = 2

ב-x = 5:
4(5) - 12 = 8 ✓
√8 ≈ 2.83

ב-x = 2:
4(2) - 12 = -4 ✗

ב-x = 0:
4(0) - 12 = -12 ✗

טבלה 📊

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר  |  ✓ מוגדר
    ────────────●════════════▶
                3            x

תשובה: x ≥ 3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² - 2x - 8
פרבולה רגילה

שלב 2: דרישה 📐
x² - 2x - 8 ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -8
• סכומם = -2

המספרים: -4 ו-2

x² - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)

שלב 4: השורשים ✍️
(x - 4)(x + 2) = 0

• x - 4 = 0 → x = 4
• x + 2 = 0 → x = -2

השורשים: -2 ו-4

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -2       4       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ חיובי: x ≤ -2 או x ≥ 4
✗ שלילי: -2 < x < 4

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
\(x \leq -2\) או \(x \geq 4\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -2:
4 + 4 - 8 = 0 ✓

ב-x = 4:
16 - 8 - 8 = 0 ✓

ב-x = 0:
0 - 0 - 8 = -8 ✗

ב-x = 5:
25 - 10 - 8 = 7 ✓

ב-x = -3:
9 + 6 - 8 = 7 ✓

טבלה 📊

תשובה: x ≤ -2 או x ≥ 4

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: 16 - x²
פרבולה הפוכה

שלב 2: דרישה 📐
16 - x² ≥ 0

שלב 3: סידור 🔢
16 - x² ≥ 0
16 ≥ x²
x² ≤ 16

שלב 4: פירוק ✍️
16 - x² = 4² - x²
= (4 - x)(4 + x)
= -(x - 4)(x + 4)

שלב 5: השורשים 📝
16 - x² = 0
x² = 16
x = ±4

השורשים: -4 ו-4

שלב 6: ניתוח על ציר המספרים 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────●═══════●────────▶
       -4       4        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ חיובי: -4 ≤ x ≤ 4 (בין השורשים)
✗ שלילי: x < -4 או x > 4

שלב 7: תחום ההגדרה 🎯
\(-4 \leq x \leq 4\)

שלב 8: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
16 - 0 = 16 ✓
√16 = 4

ב-x = 4:
16 - 16 = 0 ✓

ב-x = -4:
16 - 16 = 0 ✓

ב-x = 5:
16 - 25 = -9 ✗

ב-x = -5:
16 - 25 = -9 ✗

טבלה 📊

תשובה: -4 ≤ x ≤ 4

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: -3x + 15
ביטוי לינארי

שלב 2: דרישה 📐
-3x + 15 ≥ 0

שלב 3: פתרון 🔢
-3x + 15 ≥ 0
-3x ≥ -15

שים לב! כשמחלקים ב--3,
הכיוון מתהפך:

x ≤ 5

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \leq 5\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 5:
-3(5) + 15 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 0:
-3(0) + 15 = 15 ✓
√15 ≈ 3.87

ב-x = 3:
-3(3) + 15 = 6 ✓
√6 ≈ 2.45

ב-x = 6:
-3(6) + 15 = -3 ✗

ב-x = 10:
-3(10) + 15 = -15 ✗

טבלה 📊

ייצוג על ציר 📏

      ✓ מוגדר    |  ✗ לא מוגדר
    ◀════════════●────────────
                 5            x

הערה חשובה ⚠️
כשמחלקים במספר שלילי,
כיוון האי-שוויון מתהפך!

תשובה: x ≤ 5

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² + 4

שלב 2: דרישה 📐
x² + 4 ≥ 0

שלב 3: ניתוח 🔢
x² ≥ 0 תמיד (ריבוע תמיד אי-שלילי)

לכן:
x² + 4 ≥ 0 + 4 = 4 > 0

המסקנה: x² + 4 תמיד חיובי!

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
כל המספרים הממשיים!
\(\mathbb{R}\)

שלב 5: למה תמיד חיובי? 💭
• ריבוע של כל מספר ≥ 0
• הכי קטן ש-x² יכול להיות: 0 (ב-x=0)
• לכן הכי קטן ש-x² + 4 יכול להיות: 4
• אף פעם לא מגיע ל-0!

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
0 + 4 = 4 ✓
√4 = 2

ב-x = 1:
1 + 4 = 5 ✓
√5 ≈ 2.24

ב-x = -1:
1 + 4 = 5 ✓

ב-x = 100:
10000 + 4 = 10004 ✓

ב-x = -100:
10000 + 4 = 10004 ✓

טבלה 📊

ייצוג על ציר 📏

    ✓ מוגדר בכל מקום
◀════════════════════════▶
                         x

כלל כללי ⭐
x² + מספר חיובי → תמיד חיובי!
תחום ההגדרה: כל ℝ

תשובה: כל המספרים הממשיים

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² - 6x + 9
טרינום ריבועי

שלב 2: דרישה 📐
x² - 6x + 9 ≥ 0

שלב 3: זיהוי ריבוע מושלם 🔢
האם זה ריבוע מושלם?

(x - 3)² = x² - 2·3·x + 3²
= x² - 6x + 9 ✓

כן! זה ריבוע מושלם!

שלב 4: כתיבה מחדש ✍️
x² - 6x + 9 = (x - 3)²

שלב 5: ניתוח 💭
(x - 3)² ≥ 0

ריבוע תמיד אי-שלילי!
(x - 3)² ≥ 0 לכל x

המינימום הוא 0 (ב-x = 3)

שלב 6: תחום ההגדרה 📝
כל המספרים הממשיים!
\(\mathbb{R}\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
(3 - 3)² = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 0:
(0 - 3)² = 9 ✓
√9 = 3

ב-x = 5:
(5 - 3)² = 4 ✓
√4 = 2

ב-x = 1:
(1 - 3)² = 4 ✓

ב-x = -10:
(-10 - 3)² = 169 ✓
√169 = 13

טבלה 📊

הערה מעניינת 💡
√((x-3)²) = |x-3|
זוהי פונקציית ערך מוחלט!

כלל חשוב ⭐
ריבוע מושלם תמיד ≥ 0
לכן תמיד מוגדר בשורש!

תשובה: כל המספרים הממשיים

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: -x² - 2x + 8
פרבולה הפוכה

שלב 2: דרישה 📐
-x² - 2x + 8 ≥ 0

שלב 3: הוצאת מינוס 🔢
-x² - 2x + 8 = -(x² + 2x - 8)

שלב 4: פירוק ✍️
x² + 2x - 8

מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -8
• סכומם = 2

המספרים: 4 ו--2

x² + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)

לכן:
-x² - 2x + 8 = -(x + 4)(x - 2)

שלב 5: השורשים 📝
-x² - 2x + 8 = 0
x² + 2x - 8 = 0
(x + 4)(x - 2) = 0

• x = -4
• x = 2

שלב 6: ניתוח על ציר המספרים 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────●═══════●────────▶
       -4       2        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ חיובי: -4 ≤ x ≤ 2 (בין השורשים)
✗ שלילי: x < -4 או x > 2

שלב 7: תחום ההגדרה 🎯
\(-4 \leq x \leq 2\)

שלב 8: בדיקות 🧪
ב-x = -4:
-16 + 8 + 8 = 0 ✓

ב-x = 2:
-4 - 4 + 8 = 0 ✓

ב-x = 0:
0 - 0 + 8 = 8 ✓

ב-x = -5:
-25 + 10 + 8 = -7 ✗

ב-x = 3:
-9 - 6 + 8 = -7 ✗

טבלה 📊

תשובה: -4 ≤ x ≤ 2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² - 5x + 6
פרבולה רגילה

שלב 2: דרישה 📐
x² - 5x + 6 ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = 6
• סכומם = -5

המספרים: -2 ו--3

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

שלב 4: השורשים ✍️
(x - 2)(x - 3) = 0

• x = 2
• x = 3

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
        2       3       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ חיובי: x ≤ 2 או x ≥ 3
✗ שלילי: 2 < x < 3

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
\(x \leq 2\) או \(x \geq 3\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 2:
4 - 10 + 6 = 0 ✓

ב-x = 3:
9 - 15 + 6 = 0 ✓

ב-x = 2.5:
6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 ✗

ב-x = 0:
0 - 0 + 6 = 6 ✓

ב-x = 5:
25 - 25 + 6 = 6 ✓

טבלה 📊

תשובה: x ≤ 2 או x ≥ 3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: 25 - x²
פרבולה הפוכה

שלב 2: דרישה 📐
25 - x² ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
25 - x² = 5² - x²
= (5 - x)(5 + x)
= -(x - 5)(x + 5)

שלב 4: השורשים ✍️
25 - x² = 0
x² = 25
x = ±5

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────●═══════●────────▶
       -5       5        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ חיובי: -5 ≤ x ≤ 5
✗ שלילי: x < -5 או x > 5

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
\(-5 \leq x \leq 5\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
25 - 0 = 25 ✓
√25 = 5

ב-x = 5:
25 - 25 = 0 ✓

ב-x = -5:
25 - 25 = 0 ✓

ב-x = 6:
25 - 36 = -11 ✗

ב-x = 3:
25 - 9 = 16 ✓
√16 = 4

טבלה 📊

תשובה: -5 ≤ x ≤ 5

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: 6x + 18
ביטוי לינארי

שלב 2: דרישה 📐
6x + 18 ≥ 0

שלב 3: פתרון 🔢
6x + 18 ≥ 0
6x ≥ -18
x ≥ -3

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \geq -3\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = -3:
6(-3) + 18 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 0:
6(0) + 18 = 18 ✓
√18 ≈ 4.24

ב-x = 1:
6(1) + 18 = 24 ✓
√24 ≈ 4.90

ב-x = -4:
6(-4) + 18 = -6 ✗

ב-x = -5:
6(-5) + 18 = -12 ✗

טבלה 📊

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר  |  ✓ מוגדר
    ────────────●════════════▶
               -3            x

תשובה: x ≥ -3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: -x² + 6x - 9
פרבולה הפוכה

שלב 2: דרישה 📐
-x² + 6x - 9 ≥ 0

שלב 3: הוצאת מינוס 🔢
-x² + 6x - 9 = -(x² - 6x + 9)

שלב 4: זיהוי ריבוע מושלם ✍️
x² - 6x + 9

בואו נבדוק: (x - 3)²
(x - 3)² = x² - 6x + 9 ✓

לכן:
-x² + 6x - 9 = -(x - 3)²

שלב 5: ניתוח 💭
-(x - 3)² ≥ 0

• (x - 3)² ≥ 0 תמיד (ריבוע)
• -(x - 3)² ≤ 0 תמיד!

מתי -(x - 3)² = 0?
רק כאשר x = 3

לכל x אחר: -(x - 3)² < 0

שלב 6: תחום ההגדרה 📝
רק נקודה אחת!
x = 3 בלבד

שלב 7: למה רק נקודה אחת? 🤔
-(x - 3)² הוא:
• שלילי לכל x ≠ 3
• אפס רק ב-x = 3
• אף פעם לא חיובי!

לכן השורש מוגדר רק ב-x = 3

שלב 8: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
-9 + 18 - 9 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 2:
-4 + 12 - 9 = -1 ✗

ב-x = 4:
-16 + 24 - 9 = -1 ✗

ב-x = 0:
0 + 0 - 9 = -9 ✗

ב-x = 5:
-25 + 30 - 9 = -4 ✗

טבלה 📊

ייצוג על ציר 📏

    ✗     ✗  |✓|  ✗     ✗
    ─────────●─────────▶
             3         x

מקרה מיוחד! ⭐
זה נקרא "פונקציה נקודתית"
מוגדרת רק בנקודה אחת!

תשובה: x = 3 בלבד

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² + 2x - 15
פרבולה רגילה

שלב 2: דרישה 📐
x² + 2x - 15 ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -15
• סכומם = 2

המספרים: 5 ו--3

x² + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)

שלב 4: השורשים ✍️
(x + 5)(x - 3) = 0

• x + 5 = 0 → x = -5
• x - 3 = 0 → x = 3

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -5       3       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ חיובי: x ≤ -5 או x ≥ 3
✗ שלילי: -5 < x < 3

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
\(x \leq -5\) או \(x \geq 3\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -5:
25 - 10 - 15 = 0 ✓

ב-x = 3:
9 + 6 - 15 = 0 ✓

ב-x = 0:
0 + 0 - 15 = -15 ✗

ב-x = -6:
36 - 12 - 15 = 9 ✓

ב-x = 4:
16 + 8 - 15 = 9 ✓

טבלה 📊

תשובה: x ≤ -5 או x ≥ 3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: -2x + 10
ביטוי לינארי

שלב 2: דרישה 📐
-2x + 10 ≥ 0

שלב 3: פתרון 🔢
-2x + 10 ≥ 0
-2x ≥ -10

חלוקה ב--2 (הכיוון מתהפך!):
x ≤ 5

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \leq 5\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 5:
-2(5) + 10 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 0:
-2(0) + 10 = 10 ✓
√10 ≈ 3.16

ב-x = 3:
-2(3) + 10 = 4 ✓
√4 = 2

ב-x = 6:
-2(6) + 10 = -2 ✗

ב-x = 10:
-2(10) + 10 = -10 ✗

טבלה 📊

ייצוג על ציר 📏

      ✓ מוגדר    |  ✗ לא מוגדר
    ◀════════════●────────────
                 5            x

תזכורת חשובה ⚠️
חלוקה במספר שלילי → כיוון מתהפך!

תשובה: x ≤ 5

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² - 1
פרבולה רגילה

שלב 2: דרישה 📐
x² - 1 ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
x² - 1 = x² - 1²
= (x - 1)(x + 1)

שלב 4: השורשים ✍️
(x - 1)(x + 1) = 0

• x = 1
• x = -1

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -1       1       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ חיובי: x ≤ -1 או x ≥ 1
✗ שלילי: -1 < x < 1

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
\(x \leq -1\) או \(x \geq 1\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 1:
1 - 1 = 0 ✓

ב-x = -1:
1 - 1 = 0 ✓

ב-x = 0:
0 - 1 = -1 ✗

ב-x = 2:
4 - 1 = 3 ✓

ב-x = -2:
4 - 1 = 3 ✓

טבלה 📊

תשובה: x ≤ -1 או x ≥ 1

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: 1 - x²
פרבולה הפוכה

שלב 2: דרישה 📐
1 - x² ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
1 - x² = 1² - x²
= (1 - x)(1 + x)
= -(x - 1)(x + 1)

שלב 4: השורשים ✍️
1 - x² = 0
x² = 1
x = ±1

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────●═══════●────────▶
       -1       1        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ חיובי: -1 ≤ x ≤ 1
✗ שלילי: x < -1 או x > 1

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
\(-1 \leq x \leq 1\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
1 - 0 = 1 ✓
√1 = 1

ב-x = 1:
1 - 1 = 0 ✓

ב-x = -1:
1 - 1 = 0 ✓

ב-x = 2:
1 - 4 = -3 ✗

ב-x = 0.5:
1 - 0.25 = 0.75 ✓

טבלה 📊

הערה מעניינת 💡
זהו למעשה חצי מעגל עליון!
המשוואה x² + y² = 1 היא מעגל,
וכאן y = √(1 - x²) זה החצי העליון.

תשובה: -1 ≤ x ≤ 1

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² + 10x + 25
טרינום ריבועי

שלב 2: דרישה 📐
x² + 10x + 25 ≥ 0

שלב 3: זיהוי ריבוע מושלם 🔢
בואו נבדוק: (x + 5)²

(x + 5)² = x² + 2·5·x + 5²
= x² + 10x + 25 ✓

זהו ריבוע מושלם!

שלב 4: ניתוח ✍️
x² + 10x + 25 = (x + 5)²

(x + 5)² ≥ 0 תמיד!

ריבוע תמיד אי-שלילי

שלב 5: תחום ההגדרה 📝
כל המספרים הממשיים!
\(\mathbb{R}\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -5:
25 - 50 + 25 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 0:
0 + 0 + 25 = 25 ✓
√25 = 5

ב-x = -10:
100 - 100 + 25 = 25 ✓

ב-x = 5:
25 + 50 + 25 = 100 ✓
√100 = 10

טבלה 📊

הערה 💡
√((x+5)²) = |x+5|
זוהי פונקציית ערך מוחלט!

תשובה: כל המספרים הממשיים

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: -x² + x + 12
פרבולה הפוכה

שלב 2: דרישה 📐
-x² + x + 12 ≥ 0

שלב 3: הוצאת מינוס 🔢
-x² + x + 12 = -(x² - x - 12)

שלב 4: פירוק ✍️
x² - x - 12

מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -12
• סכומם = -1

המספרים: -4 ו-3

x² - x - 12 = (x - 4)(x + 3)

לכן:
-x² + x + 12 = -(x - 4)(x + 3)

שלב 5: השורשים 📝
-x² + x + 12 = 0
x² - x - 12 = 0
(x - 4)(x + 3) = 0

• x = 4
• x = -3

שלב 6: ניתוח על ציר המספרים 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────●═══════●────────▶
       -3       4        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ חיובי: -3 ≤ x ≤ 4
✗ שלילי: x < -3 או x > 4

שלב 7: תחום ההגדרה 🎯
\(-3 \leq x \leq 4\)

שלב 8: בדיקות 🧪
ב-x = -3:
-9 - 3 + 12 = 0 ✓

ב-x = 4:
-16 + 4 + 12 = 0 ✓

ב-x = 0:
0 + 0 + 12 = 12 ✓

ב-x = -4:
-16 - 4 + 12 = -8 ✗

ב-x = 5:
-25 + 5 + 12 = -8 ✗

טבלה 📊

תשובה: -3 ≤ x ≤ 4

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² - 16
פרבולה רגילה

שלב 2: דרישה 📐
x² - 16 ≥ 0

שלב 3: פירוק 🔢
x² - 16 = x² - 4²
= (x - 4)(x + 4)

שלב 4: השורשים ✍️
(x - 4)(x + 4) = 0

• x = 4
• x = -4

שלב 5: ניתוח על ציר המספרים 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -4       4       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ חיובי: x ≤ -4 או x ≥ 4
✗ שלילי: -4 < x < 4

שלב 6: תחום ההגדרה 🎯
\(x \leq -4\) או \(x \geq 4\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 4:
16 - 16 = 0 ✓

ב-x = -4:
16 - 16 = 0 ✓

ב-x = 0:
0 - 16 = -16 ✗

ב-x = 5:
25 - 16 = 9 ✓
√9 = 3

ב-x = -5:
25 - 16 = 9 ✓

טבלה 📊

תשובה: x ≤ -4 או x ≥ 4

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: 7x - 21
ביטוי לינארי

שלב 2: דרישה 📐
7x - 21 ≥ 0

שלב 3: פתרון 🔢
7x - 21 ≥ 0
7x ≥ 21
x ≥ 3

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
\(x \geq 3\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
7(3) - 21 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 4:
7(4) - 21 = 7 ✓
√7 ≈ 2.65

ב-x = 5:
7(5) - 21 = 14 ✓
√14 ≈ 3.74

ב-x = 2:
7(2) - 21 = -7 ✗

ב-x = 0:
7(0) - 21 = -21 ✗

טבלה 📊

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר  |  ✓ מוגדר
    ────────────●════════════▶
                3            x

תשובה: x ≥ 3

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: x² + 1

שלב 2: דרישה 📐
x² + 1 ≥ 0

שלב 3: ניתוח 🔢
x² ≥ 0 תמיד (ריבוע)

לכן:
x² + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0

תמיד חיובי!

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
כל המספרים הממשיים!
\(\mathbb{R}\)

שלב 5: למה תמיד חיובי? 💭
• המינימום של x² הוא 0
• לכן המינימום של x² + 1 הוא 1
• אף פעם לא מגיע ל-0!
• תמיד > 0

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
0 + 1 = 1 ✓
√1 = 1

ב-x = 1:
1 + 1 = 2 ✓
√2 ≈ 1.41

ב-x = -1:
1 + 1 = 2 ✓

ב-x = 5:
25 + 1 = 26 ✓

ב-x = -100:
10000 + 1 = 10001 ✓

טבלה 📊

ייצוג על ציר 📏

    ✓ מוגדר בכל מקום
◀════════════════════════▶
                         x

כלל כללי ⭐
x² + מספר חיובי → תמיד מוגדר!

תשובה: כל המספרים הממשיים

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: -x² + 4x - 4
פרבולה הפוכה

שלב 2: דרישה 📐
-x² + 4x - 4 ≥ 0

שלב 3: הוצאת מינוס 🔢
-x² + 4x - 4 = -(x² - 4x + 4)

שלב 4: זיהוי ריבוע מושלם ✍️
x² - 4x + 4

בואו נבדוק: (x - 2)²
(x - 2)² = x² - 4x + 4 ✓

לכן:
-x² + 4x - 4 = -(x - 2)²

שלב 5: ניתוח 💭
-(x - 2)² ≥ 0

• (x - 2)² ≥ 0 תמיד
• -(x - 2)² ≤ 0 תמיד!

מתי שווה ל-0?
רק כאשר x = 2

לכל x אחר: -(x - 2)² < 0

שלב 6: תחום ההגדרה 📝
רק נקודה אחת!
x = 2 בלבד

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 2:
-4 + 8 - 4 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 0:
0 + 0 - 4 = -4 ✗

ב-x = 1:
-1 + 4 - 4 = -1 ✗

ב-x = 3:
-9 + 12 - 4 = -1 ✗

ב-x = 4:
-16 + 16 - 4 = -4 ✗

טבלה 📊

ייצוג על ציר 📏

    ✗     ✗  |✓|  ✗     ✗
    ─────────●─────────▶
             2         x

מקרה מיוחד! ⭐
פונקציה נקודתית!
מוגדרת רק בנקודה אחת!

תשובה: x = 2 בלבד

💡 הסבר מפורט - השאלה המסכמת:

שלב 1: זיהוי 🔍
תחת השורש: -x² + 2x + 8
פרבולה הפוכה

שלב 2: דרישה 📐
-x² + 2x + 8 ≥ 0

שלב 3: הוצאת מינוס 🔢
-x² + 2x + 8 = -(x² - 2x - 8)

שלב 4: פירוק הטרינום ✍️
x² - 2x - 8

מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -8
• סכומם = -2

המספרים: -4 ו-2

x² - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)

לכן:
-x² + 2x + 8 = -(x - 4)(x + 2)

שלב 5: השורשים 📝
-x² + 2x + 8 = 0
x² - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0

• x = 4
• x = -2

שלב 6: ניתוח על ציר המספרים 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────●═══════●────────▶
       -2       4        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ חיובי: -2 ≤ x ≤ 4 (בין השורשים)
✗ שלילי: x < -2 או x > 4

שלב 7: תחום ההגדרה 🎯
\(-2 \leq x \leq 4\)

שלב 8: בדיקות מקיפות 🧪
ב-x = -2:
-4 - 4 + 8 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 4:
-16 + 8 + 8 = 0 ✓
√0 = 0

ב-x = 0:
0 + 0 + 8 = 8 ✓
√8 ≈ 2.83

ב-x = 1:
-1 + 2 + 8 = 9 ✓
√9 = 3

ב-x = -3:
-9 - 6 + 8 = -7 ✗

ב-x = 5:
-25 + 10 + 8 = -7 ✗

טבלה מפורטת 📊

סיכום כל הטכניקות שעברנו 🎯
במבחן זה למדנו:
✅ ביטויים לינאריים
✅ פרבולות רגילות (+x²)
✅ פרבולות הפוכות (-x²)
✅ פירוק טרינומים
✅ הפרש/סכום ריבועים
✅ ריבועים מושלמים
✅ ביטויים שתמיד חיוביים
✅ פונקציות נקודתיות

עקרון מרכזי ⭐
תמיד:
1. דרוש שהביטוי תחת השורש ≥ 0
2. מצא את השורשים
3. בדוק סימנים על ציר המספרים
4. כתוב תחום הגדרה

תשובה סופית: -2 ≤ x ≤ 4