مجال تعريف دالة الجذر
مجال تعريف دالة الجذر. أسئلة تدريبية لتعميق الفهم في مجال تعريف دالة الجذر. تدريب رياضيات أونلاين مع حلول كاملة وشروحات مفصلة خطوة بخطوة.
تدريب مجال تعريف دالة الجذر — 30 سؤالاً: المقدار تحت الجذر ≥ 0، القطوع المكافئة، التحليل على خط الأعداد. شروحات مفصلة مع قواعد.
المواضيع المغطاة:
- أسئلة أساسية (1-3): مقادير خطية بسيطة
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{x-3}\).
💡 شرح مفصل:
في دالة الجذر يجب أن يكون ما تحت الجذر غير سالب. لذلك نطلب x - 3 ≥ 0، ومنه x ≥ 3. عند x = 3 نحصل على √0 وهو معرّف، لذلك تشمل النهاية.
مجال التعريف:
\(x \geq 3\) أو \([3, \infty)\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{2x+6}\).
💡 شرح مفصل:
نطلب أن يكون ما تحت الجذر غير سالب: 2x + 6 ≥ 0. ننقل 6 للطرف الآخر: 2x ≥ -6، ثم نقسم على 2 فنحصل على x ≥ -3.
مجال التعريف:
\(x \geq -3\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{5-x}\).
💡 شرح مفصل:
نطلب 5 - x ≥ 0. من ذلك 5 ≥ x، أي x ≤ 5. انتبه: اتجاه المتباينة يتغيّر لأن معامل x سالب.
مجال التعريف:
\(x \leq 5\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{x^2-4}\).
💡 شرح مفصل:
نطلب x² - 4 ≥ 0. نفكك: x² - 4 = (x - 2)(x + 2). الجذران هما -2 و2، وبما أن القطع المكافئ مفتوح للأعلى فإن التعبير غير سالب خارج الفترة بين الجذرين.
مجال التعريف:
\(x \leq -2\) أو \(x \geq 2\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{9-x^2}\).
💡 شرح مفصل:
نطلب 9 - x² ≥ 0، أي x² ≤ 9. لذلك يجب أن يكون x بين -3 و3، مع تضمين الطرفين لأن الجذر من صفر معرّف.
مجال التعريف:
\(-3 \leq x \leq 3\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{x^2-9}\).
💡 شرح مفصل:
نطلب x² - 9 ≥ 0. نفكك: x² - 9 = (x - 3)(x + 3). الجذران -3 و3، والقطع المكافئ مفتوح للأعلى، لذلك التعبير غير سالب خارج الفترة.
مجال التعريف:
\(x \leq -3\) أو \(x \geq 3\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{x^2+5x+6}\).
💡 شرح مفصل:
نطلب x² + 5x + 6 ≥ 0. نفكك: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). الجذران -3 و-2، والقطع المكافئ مفتوح للأعلى، لذلك المجال خارج الفترة بينهما.
مجال التعريف:
\(x \leq -3\) أو \(x \geq -2\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{-x^2+4x-3}\).
💡 شرح مفصل:
نطلب -x² + 4x - 3 ≥ 0. نكتبها: -(x - 1)(x - 3) ≥ 0. الجذران 1 و3، والقطع المكافئ مفتوح للأسفل، لذلك التعبير غير سالب بين الجذرين.
مجال التعريف:
\(1 \leq x \leq 3\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{4x-12}\).
💡 شرح مفصل:
نطلب 4x - 12 ≥ 0. إذن 4x ≥ 12، ومنه x ≥ 3. عند x = 3 يكون ما تحت الجذر صفرًا، لذلك الطرف مشمول.
مجال التعريف:
\(x \geq 3\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{x^2-2x-8}\).
💡 شرح مفصل:
نطلب x² - 2x - 8 ≥ 0. نفكك: x² - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2). الجذران -2 و4، والقطع المكافئ مفتوح للأعلى، لذلك المجال خارج الفترة بين الجذرين.
مجال التعريف:
\(x \leq -2\) أو \(x \geq 4\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{16-x^2}\).
💡 شرح مفصل:
نطلب 16 - x² ≥ 0، أي x² ≤ 16. لذلك -4 ≤ x ≤ 4، مع تضمين الطرفين لأن الجذر من صفر معرّف.
مجال التعريف:
\(-4 \leq x \leq 4\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{-3x+15}\).
💡 شرح مفصل:
نطلب -3x + 15 ≥ 0. ننقل: -3x ≥ -15. عند القسمة على -3 تنقلب المتباينة، ولذلك x ≤ 5.
مجال التعريف:
\(x \leq 5\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{x^2+4}\).
💡 شرح مفصل:
نطلب x² + 4 ≥ 0. بما أن x² ≥ 0 دائمًا، فإن x² + 4 > 0 لكل x. لذلك المجال هو جميع الأعداد الحقيقية.
مجال التعريف:
جميع الأعداد الحقيقية \((\mathbb{R})\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{x^2-6x+9}\).
💡 شرح مفصل:
نلاحظ أن x² - 6x + 9 = (x - 3)². مربع أي عدد غير سالب دائمًا، ولذلك التعبير تحت الجذر معرّف لكل x.
مجال التعريف:
جميع الأعداد الحقيقية \((\mathbb{R})\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{-x^2-2x+8}\).
💡 شرح مفصل:
نطلب -x² - 2x + 8 ≥ 0. نكتبها: -(x + 4)(x - 2) ≥ 0. الجذران -4 و2، والقطع المكافئ مفتوح للأسفل، لذلك المجال بين الجذرين.
مجال التعريف:
\(-4 \leq x \leq 2\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}\).
💡 شرح مفصل:
نطلب x² - 5x + 6 ≥ 0. نفكك: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). الجذران 2 و3، والقطع المكافئ مفتوح للأعلى، لذلك المجال خارج الفترة بينهما.
مجال التعريف:
\(x \leq 2\) أو \(x \geq 3\)
📊 جد مجال تعريف الدالة: \(f(x) = \sqrt{25-x^2}\)
💡 شرح مفصّل:
الخطوة 1: التمييز 🔍
تحت الجذر: 25 − x²
الخطوة 2: الشرط 📐
25 − x² ≥ 0
الخطوة 3: التحليل 🔢
25 − x² = (5−x)(5+x)
الخطوة 4: الجذور ✍️
x² = 25 ← x = ±5
الخطوة 5: مجال التعريف 🎯
\(-5 \leq x \leq 5\)
الخطوة 6: تحقّق 🧪
عند x=0: 25 ✓
عند x=±5: 0 ✓
عند x=±6: −11 ✗
عند x=3: 16 ✓ ← √16=4
الجواب: \(-5 \leq x \leq 5\)
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{6x+18}\).
\(6x+18\\geq0\) ← \(x\\geq-3\). مجال: \([-3,+\\infty)\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{-x^2+6x-9}\).
\((x-3)^2\\leq0\). المربع دائماً ≥0 ← الحل الوحيد: x=3. مجال: \(\\{3\\}\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{x^2+2x-15}\).
\((x+5)(x-3)\\geq0\). جدول الإشارات: \(x\\leq-5\) أو \(x\\geq3\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{-2x+10}\).
\(-2x+10\\geq0\) ← \(x\\leq5\). مجال: \((-\\infty,5]\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{x^2-1}\).
\((x-1)(x+1)\\geq0\). جدول الإشارات: \(x\\leq-1\) أو \(x\\geq1\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\).
\(1-x^2\\geq0\) ← \(-1\\leq x\\leq1\). مجال: \([-1,1]\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{x^2+10x+25}\).
\((x+5)^2\\geq0\) دائماً. مجال التعريف: كل الأعداد الحقيقية.
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{-x^2+x+12}\).
نقلب: \((x-4)(x+3)\\leq0\) ← \(-3\\leq x\\leq4\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{x^2-16}\).
\((x-4)(x+4)\\geq0\). جدول الإشارات: \(x\\leq-4\) أو \(x\\geq4\).
جد نطاق الدالة \(f(x)=\sqrt{7x-21}\).
\(7x-21\\geq0\) ← \(x\\geq3\). مجال: \([3,+\\infty)\).
📐 : \(f(x) = \sqrt{x^2+1}\)
\(x^2+1\\geq1>0\) دائماً. مجال التعريف: كل الأعداد الحقيقية.
📊 جد مجال تعريف الدالة \(f(x)=\sqrt{-x^2+4x-4}\).
\\((x-2)^2\\leq0\\). المربع دائماً ≥0 ← الحل الوحيد: x=2. مجال: \\(\\{2\\}\\).
🌟 جد مجال تعريف الدالة \(f(x)=\sqrt{-x^2+2x+8}\).
نقلب: \\((x-4)(x+2)\\leq0\\) ← \\(-2\\leq x\\leq4\\). مجال: \\([-2,4]\\).