正态分布 - Z 表与面积计算

正态分布

Z 表与面积计算

📋 什么是 Z 表?

Z 表是连接标准分数与面积/概率的工具。

💡 表格给出什么?

对于每个标准分数 Z,表格给出该分数左侧的面积。

也就是说:取值小于或等于给定标准分数的概率。

Z P(Z) 绿色面积 = 表中数值

📌 记号:\(P(Z \leq z) = \)表中数值

📖 如何读表?

✏️ 例子:求 P(Z ≤ -1.53)

步骤 1:分解标准分数:-1.53 = -1.5 + 0.03

步骤 2:在第一列找到 -1.5

步骤 3:在顶行找到 0.03

步骤 4:交点处的单元格就是答案

P(Z ≤ -1.53) = 0.0630

✏️ 例子:求 P(Z ≤ -0.72)

-0.72 = -0.7 + 0.02

P(Z ≤ -0.72) = 0.2360

🔢 小数与百分比之间的转换

表中数值 × 100 = 百分比

💡 例子:

  • 0.0630 → 6.30%
  • 0.2360 → 23.60%
  • 0.8413 → 84.13%
  • 0.5000 → 50%

📌 注意:下列四个词是等价的:

面积 = 百分比 = 概率 = 可能性

⭐ 需要记住的重要数值

标准分数 Z 表中数值 百分比
Z = 0 0.5000 50%
Z = 1 0.8413 84.13%
Z = -1 0.1587 15.87%
Z = 2 0.9772 97.72%
Z = -2 0.0228 2.28%

🔄 求右侧面积(补充百分比)

Z 1 - P(Z)

\(P(Z > z) = 1 - P(Z \leq z)\)

✏️ 例子:求 P(Z > 1.6)

由表得:P(Z ≤ 1.6) = 0.9452

P(Z > 1.6) = 1 - 0.9452 = 0.0548(或 5.48%)

📊 两个标准分数之间的面积

Z₁ Z₂

\(P(Z_1 < Z < Z_2) = P(Z \leq Z_2) - P(Z \leq Z_1)\)

✏️ 例子:求 P(-0.44 < Z < 0.74)

由表得:P(Z ≤ 0.74) = 0.7704

由表得:P(Z ≤ -0.44) = 0.3300

P(-0.44 < Z < 0.74) = 0.7704 - 0.3300 = 0.4404(或 44.04%)

🔍 从百分比求标准分数(反向)

💡 思路:有时给定百分比,需要求 Z!

✏️ 例子:求 Z 使得 77% 的值小于它。

步骤 1:转换为小数:77% = 0.77

步骤 2:在表中查找 0.77

步骤 3:在行与列中找到对应的 Z

Z ≈ 0.74

✏️ 例子:求 Z 使得 33% 的值大于它。

步骤 1:补充百分比:100% - 33% = 67% = 0.67

步骤 2:在表中查找 0.67

Z ≈ 0.44

📋 总结表 — 题型

题型 解题方法
P(Z ≤ z) 直接从表中读出
P(Z > z) 1 -(表中数值)
P(Z₁ < Z < Z₂) P(Z ≤ Z₂) - P(Z ≤ Z₁)
从百分比求 Z 在表中查找该百分比

📝 总结

Z 表给出标准分数左侧的面积

右侧面积 = 1 - 左侧面积

中间面积 = 较大面积 - 较小面积