التوزيع الطبيعي
جدول Z وإيجاد المساحات
📋 ما هو جدول Z؟
جدول Z هو أداة تربط بين الدرجة المعيارية والمساحة/الاحتمال.
💡 ماذا يعطي الجدول؟
لكل درجة معيارية Z يعطي الجدول المساحة إلى اليسار منها.
أي: احتمال الحصول على قيمة أصغر من أو تساوي الدرجة المعيارية المعطاة.
📌 الرمز: \(P(Z \leq z) = \) القيمة في الجدول
📖 كيف نقرأ الجدول؟
✏️ مثال: أوجد P(Z ≤ -1.53)
الخطوة 1: حلّل الدرجة: -1.53 = -1.5 + 0.03
الخطوة 2: ابحث في العمود الأول عن -1.5
الخطوة 3: ابحث في الصف العلوي عن 0.03
الخطوة 4: الخلية عند التقاطع هي الإجابة
P(Z ≤ -1.53) = 0.0630
✏️ مثال: أوجد P(Z ≤ -0.72)
-0.72 = -0.7 + 0.02
P(Z ≤ -0.72) = 0.2360
🔢 التحويل بين الكسر العشري والنسبة المئوية
القيمة في الجدول × 100 = النسبة المئوية
💡 أمثلة:
- 0.0630 → 6.30%
- 0.2360 → 23.60%
- 0.8413 → 84.13%
- 0.5000 → 50%
📌 انتبه: هذه المصطلحات الأربعة متكافئة:
مساحة = نسبة مئوية = احتمال = إمكانية
⭐ قيم مهمة للحفظ
| الدرجة المعيارية Z | القيمة في الجدول | النسبة |
|---|---|---|
| Z = 0 | 0.5000 | 50% |
| Z = 1 | 0.8413 | 84.13% |
| Z = -1 | 0.1587 | 15.87% |
| Z = 2 | 0.9772 | 97.72% |
| Z = -2 | 0.0228 | 2.28% |
🔄 إيجاد المساحة اليمنى (الاحتمال المكمل)
\(P(Z > z) = 1 - P(Z \leq z)\)
✏️ مثال: أوجد P(Z > 1.6)
من الجدول: P(Z ≤ 1.6) = 0.9452
P(Z > 1.6) = 1 - 0.9452 = 0.0548 (أو 5.48%)
📊 المساحة بين درجتَين معياريتَين
\(P(Z_1 < Z < Z_2) = P(Z \leq Z_2) - P(Z \leq Z_1)\)
✏️ مثال: أوجد P(-0.44 < Z < 0.74)
P(Z ≤ 0.74) = 0.7704
P(Z ≤ -0.44) = 0.3300
P = 0.7704 - 0.3300 = 0.4404 (أو 44.04%)
🔍 إيجاد الدرجة المعيارية من النسبة المئوية (عكسي)
💡 الفكرة: أحياناً تُعطى النسبة المئوية ونحتاج إيجاد Z!
✏️ مثال: أوجد Z بحيث 77% من القيم أصغر منه.
الخطوة 1: حوّل إلى كسر: 77% = 0.77
الخطوة 2: ابحث عن 0.77 داخل الجدول
الخطوة 3: اقرأ Z من الصف والعمود
Z ≈ 0.74
✏️ مثال: أوجد Z بحيث 33% من القيم أكبر منه.
الخطوة 1: المكمل: 100%-33% = 67% = 0.67
الخطوة 2: ابحث عن 0.67 في الجدول
Z ≈ 0.44
📋 جدول ملخص – أنواع الأسئلة
| نوع السؤال | طريقة الحل |
|---|---|
| P(Z ≤ z) | يُقرأ مباشرة من الجدول |
| P(Z > z) | 1 - (القيمة من الجدول) |
| P(Z₁ < Z < Z₂) | P(Z ≤ Z₂) - P(Z ≤ Z₁) |
| إيجاد Z من نسبة | البحث عن النسبة داخل الجدول |
📝 الملخص
جدول Z يعطي المساحة إلى يسار الدرجة المعيارية
المساحة اليمنى = 1 - المساحة اليسرى
المساحة بين = المساحة الكبرى - المساحة الصغرى